题目

如图为简谐振动和的振动曲线，求:和的简谐振动表达式，两简谐振动同时作用于同一个物体时，合振动表达式为:

如图为简谐振动 $x_1$ 和 $x_2$ 的振动曲线，求: $x_1$ 和 $x_2$ 的简谐振动表达式，两简谐振动同时作用于同一个物体时，合振动表达式为:

题目解答

答案

设 $x_2=A\cos\omega t$ ，并且振幅为3m，周期T=4s，那么根据 $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}$ ，我们就可以写出 $x_2$ 的简谐振动表达式为 $x_2=3\cos\frac{\pi}{2}t$ ，设 $x_1$ 的振动方程为 $x_1=B\cos\left(\omega t+\varphi\right)$ ， $x_1$ 的振幅为6m，周期T=4s，并且t=0时x=3m，有 $6\cos\varphi=3$ ，开始时速度方向为正，即 $\frac{dx}{dt}=-6\omega\sin\varphi>0$ ，联立解得 $\varphi=-\frac{\pi}{3}$ ， $\omega=\frac{\pi}{2}$ ，所以 $x_1=6\cos\left(\frac{\pi}{2}t-\frac{\pi}{3}\right)$ ，合振动表达式就为 $x=x_1+x_2$ ， $x=3\cos\frac{\pi}{2}t+6\cos\left(\frac{\pi}{2}t-\frac{\pi}{3}\right)$ ，整理得 $x=3\sqrt{7}\cos\left(\frac{\pi}{2}t-\varphi\right)$ ，其中 $\tan\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，解得 $\varphi=0.7137$ ，所以合振动表达式为 $x=3\sqrt{7}\cos\left(\frac{\pi}{2}t-0.7137\right)$ 。

解析

步骤 1：确定${x}_{2}$的简谐振动表达式
根据题目中给出的${x}_{2}$的振幅为3m，周期T=4s，可以计算出角频率$\omega =\dfrac {2\pi }{T}=\dfrac {\pi }{2}$。因此，${x}_{2}$的简谐振动表达式为${x}_{2}=3\cos \dfrac {\pi }{2}t$。

步骤 2：确定${x}_{1}$的简谐振动表达式
${x}_{1}$的振幅为6m，周期T=4s，因此角频率$\omega =\dfrac {\pi }{2}$。当t=0时，${x}_{1}=3m$，可以得到$\cos \varphi =\dfrac {1}{2}$，即$\varphi =-\dfrac {\pi }{3}$。因此，${x}_{1}$的简谐振动表达式为${x}_{1}=6\cos (\dfrac {\pi }{2}t-\dfrac {\pi }{3})$。

步骤 3：确定合振动表达式
当${x}_{1}$和${x}_{2}$同时作用于同一个物体时，合振动表达式为$x={x}_{1}+{x}_{2}$。将${x}_{1}$和${x}_{2}$的表达式代入，得到$x=3\cos \dfrac {\pi }{2}t+6\cos (\dfrac {\pi }{2}t-\dfrac {\pi }{3})$。通过三角函数的和差化积公式，可以将上述表达式化简为$x=3\sqrt {7}\cos (\dfrac {\pi }{2}t-\varphi )$，其中$\varphi =\arctan \dfrac {\sqrt {3}}{2}$，解得$\varphi \approx 0.7137$。