题目
如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q。沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为lambda ，长度为l，细线左端离球心距离为(r)_(0)。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。
如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q。沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为$\lambda $，长度为l，细线左端离球心距离为${r}_{0}$。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：计算细线所受球面电荷的电场力
细线上的电荷分布是均匀的，因此可以将细线上的电荷元表示为 $dq'=\lambda dx$，其中 $\lambda$ 是电荷线密度，$dx$ 是细线上的微小长度。根据库仑定律，细线上的电荷元在球面电荷的电场中所受的电场力为 $dF=\dfrac {q\lambda dx}{4\pi {\varepsilon }_{0}{x}^{2}}$，其中 $q$ 是球面电荷量，$x$ 是细线上的电荷元到球心的距离。为了得到整个细线所受的电场力，需要对细线上的所有电荷元进行积分，即 $F=\dfrac {q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}{\int }_{{r}_{0}}^{{r}_{0}+l}\dfrac {dx}{{x}^{2}}$。计算该积分，得到细线所受的电场力为 $F=\dfrac {q\lambda l}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}_{0}({r}_{0}+l)}$，方向沿细线方向。
步骤 2：计算细线在该电场中的电势能
细线上的电荷元在球面电荷的电场中具有的电势能为 $d{E}_{p}=\dfrac {q\lambda dx}{4\pi {\varepsilon }_{0}x}$。为了得到整个细线在电场中的电势能，需要对细线上的所有电荷元进行积分，即 ${E}_{p}=\dfrac {q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}{\int }_{{r}_{0}}^{\infty }\dfrac {dx}{x}$。计算该积分，得到细线在电场中的电势能为 ${E}_{p}=\dfrac {q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln (\dfrac {{r}_{0}+l}{{r}_{0}})$。
细线上的电荷分布是均匀的，因此可以将细线上的电荷元表示为 $dq'=\lambda dx$，其中 $\lambda$ 是电荷线密度，$dx$ 是细线上的微小长度。根据库仑定律，细线上的电荷元在球面电荷的电场中所受的电场力为 $dF=\dfrac {q\lambda dx}{4\pi {\varepsilon }_{0}{x}^{2}}$，其中 $q$ 是球面电荷量，$x$ 是细线上的电荷元到球心的距离。为了得到整个细线所受的电场力，需要对细线上的所有电荷元进行积分，即 $F=\dfrac {q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}{\int }_{{r}_{0}}^{{r}_{0}+l}\dfrac {dx}{{x}^{2}}$。计算该积分，得到细线所受的电场力为 $F=\dfrac {q\lambda l}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}_{0}({r}_{0}+l)}$，方向沿细线方向。
步骤 2：计算细线在该电场中的电势能
细线上的电荷元在球面电荷的电场中具有的电势能为 $d{E}_{p}=\dfrac {q\lambda dx}{4\pi {\varepsilon }_{0}x}$。为了得到整个细线在电场中的电势能，需要对细线上的所有电荷元进行积分，即 ${E}_{p}=\dfrac {q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}{\int }_{{r}_{0}}^{\infty }\dfrac {dx}{x}$。计算该积分，得到细线在电场中的电势能为 ${E}_{p}=\dfrac {q\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln (\dfrac {{r}_{0}+l}{{r}_{0}})$。