在xy平面内，质点以原点O为圆心作匀速圆周运动，已知在t=0时，y=0，x=r，角速度 如图所示； （1）试用半径r、角速度和单位矢量i、j表示其t时刻的位置矢量； （2）由（1）导出速度u与加速度a的矢量表示式； （3）试证加速度指向圆心。 (x,y)-|||-x-|||-i

步骤 1：确定位置矢量
在t=0时，质点位于x轴上，即y=0，x=r。由于质点以原点O为圆心作匀速圆周运动，其位置矢量可以表示为：
$$\overrightarrow{r} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$$
其中，x和y是质点在x轴和y轴上的坐标，$\overrightarrow{i}$和$\overrightarrow{j}$是单位矢量。由于质点在t=0时位于x轴上，所以x=r，y=0。因此，t=0时的位置矢量为：
$$\overrightarrow{r}(0) = r\overrightarrow{i}$$
步骤 2：确定t时刻的位置矢量
由于质点作匀速圆周运动，其角速度为$\omega$，所以t时刻的位置矢量可以表示为：
$$\overrightarrow{r}(t) = r\cos(\omega t)\overrightarrow{i} + r\sin(\omega t)\overrightarrow{j}$$
步骤 3：确定速度矢量
速度矢量是位置矢量对时间的导数，所以速度矢量可以表示为：
$$\overrightarrow{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{r}(t)}{dt} = -r\omega\sin(\omega t)\overrightarrow{i} + r\omega\cos(\omega t)\overrightarrow{j}$$
步骤 4：确定加速度矢量
加速度矢量是速度矢量对时间的导数，所以加速度矢量可以表示为：
$$\overrightarrow{a}(t) = \frac{d\overrightarrow{v}(t)}{dt} = -r\omega^2\cos(\omega t)\overrightarrow{i} - r\omega^2\sin(\omega t)\overrightarrow{j}$$
步骤 5：证明加速度指向圆心
加速度矢量可以表示为：
$$\overrightarrow{a}(t) = -\omega^2\overrightarrow{r}(t)$$
由于$\overrightarrow{r}(t)$指向质点的位置，所以$-\omega^2\overrightarrow{r}(t)$指向圆心，即加速度指向圆心。