题目
3.平面简谐波在 t=0 时的波形如图所示,设此简谐波的频率为100Hz,且此时图中点P的-|||-运动方向向下,求:(1)该波的波动方程。(2)在 x=10m 处的质点的振动方程。-|||-↑y(m)-|||-d 0.10-|||-0.05 x(m)-|||-0 20.0m-|||-k......-|||--0.10
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波的参数
根据题目，频率 \( f = 100 \) Hz，因此角频率 \( \omega = 2\pi f = 200\pi \) rad/s。波形图显示波的振幅 \( A = 0.1 \) m，波长 \( \lambda = 4 \) m，因此波数 \( k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \) rad/m。波速 \( v = \lambda f = 4 \times 100 = 400 \) m/s。
步骤 2：确定波的传播方向和初相位
由于点P在 t=0 时向下运动，波沿 x 轴正方向传播。根据波形图，当 \( x = 0 \) 时，\( y = 0.1 \) m，因此初相位 \( \phi = 0 \)。
步骤 3：写出波动方程
波动方程的一般形式为 \( y(x,t) = A \cos(\omega t - kx + \phi) \)。将已知参数代入，得到波动方程为 \( y(x,t) = 0.1 \cos(200\pi t - \frac{\pi}{2} x) \)。
步骤 4：求 x=10m 处的质点振动方程
将 \( x = 10 \) m 代入波动方程，得到 \( y(10,t) = 0.1 \cos(200\pi t - \frac{\pi}{2} \times 10) = 0.1 \cos(200\pi t - 5\pi) \)。
根据题目，频率 \( f = 100 \) Hz，因此角频率 \( \omega = 2\pi f = 200\pi \) rad/s。波形图显示波的振幅 \( A = 0.1 \) m，波长 \( \lambda = 4 \) m，因此波数 \( k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \) rad/m。波速 \( v = \lambda f = 4 \times 100 = 400 \) m/s。
步骤 2：确定波的传播方向和初相位
由于点P在 t=0 时向下运动，波沿 x 轴正方向传播。根据波形图，当 \( x = 0 \) 时，\( y = 0.1 \) m，因此初相位 \( \phi = 0 \)。
步骤 3：写出波动方程
波动方程的一般形式为 \( y(x,t) = A \cos(\omega t - kx + \phi) \)。将已知参数代入，得到波动方程为 \( y(x,t) = 0.1 \cos(200\pi t - \frac{\pi}{2} x) \)。
步骤 4：求 x=10m 处的质点振动方程
将 \( x = 10 \) m 代入波动方程，得到 \( y(10,t) = 0.1 \cos(200\pi t - \frac{\pi}{2} \times 10) = 0.1 \cos(200\pi t - 5\pi) \)。