已知一带电小球,带电量q,距离均匀带电细杆(带电量Q,长度L)一端为a。则这两个带电体之间的电场力的大小为:q Q a L A. F=1div (4pi varepsilon _0)qQ div ( (L+a)^2) B. F=1div (4pi e_0)qQ div ( (L+a/2)^2) C. F=1div (4pi varepsilon _0)qQ div ( (L/2+a)^2)D.F=1div (4pi varepsilon _0)qQ div (a(a+L))

考查要点：本题主要考查连续带电体电场的叠加计算，需要将均匀带电细杆视为无数个点电荷的集合，通过积分求出带电小球所受的总电场力。

解题核心思路：

1. 微元法：将细杆分割为无数电荷元，每个电荷元对小球的库仑力为微小量$dF$。
2. 积分法：对所有电荷元的力进行积分，得到总力$F$。
3. 化简表达式：通过代数运算将积分结果转化为选项中的形式。

破题关键点：

• 正确表达电荷元的电荷量：线电荷密度$\lambda = \frac{Q}{L}$，微元电荷量为$dq = \lambda dx$。
• 确定距离关系：杆上某点到小球的距离为$a + x$（$x$为杆上微元到端点的距离）。
• 积分上下限：积分区间为$x = 0$到$x = L$。

步骤1：建立微元模型

细杆线电荷密度为$\lambda = \frac{Q}{L}$，取杆上坐标为$x$处的微元，其电荷量为$dq = \lambda dx$。
该微元与小球的库仑力大小为：
$dF = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q \cdot dq}{(a + x)^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q \lambda dx}{(a + x)^2}.$

步骤2：积分求总力

总力为所有微元力的代数和：
$F = \int_{0}^{L} dF = \frac{q \lambda}{4\pi \varepsilon_0} \int_{0}^{L} \frac{dx}{(a + x)^2}.$

步骤3：计算积分

积分结果为：
$\int_{0}^{L} \frac{dx}{(a + x)^2} = \left[ -\frac{1}{a + x} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + L}.$

步骤4：代入化简

将$\lambda = \frac{Q}{L}$代入总力表达式：
$F = \frac{q Q}{4\pi \varepsilon_0 L} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a + L} \right) = \frac{q Q}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{L}{a(a + L)} \cdot \frac{1}{L} = \frac{q Q}{4\pi \varepsilon_0 a(a + L)}.$

结论：最终表达式对应选项D。