rm(0.01m^3)氮气在温度为300K时，由1MPa(即1atm)压缩到10MPa。试分别求氮气经等温及绝热压缩后的： (1)体积； (2)温度； (3)各过程对外所做的功。
$$\rm{0.01m^3}$$氮气在温度为300K时，由1MPa(即1atm)压缩到10MPa。试分别求氮气经等温及绝热压缩后的：
(1)体积；
(2)温度；
(3)各过程对外所做的功。
题目解答
答案
(1)等温压缩$$T=300K$$
由$$p_1V_1=p_2V_2$$，求得体积
$$V_2={p_1V_1\over p_2}={1\over 10}\times 0.01=1\times 10^{-3}m^3$$
对外做功：$$A=vRT\rm{ln} {V_2\over V_1}$$$$=p_1V\rm{{ln}}{p_1\over p_2}$$$$=1\times 1.013\times 10^5\times 0.01\times \rm{ln}0.01$$$$=-4.67\times 10^3J$$
(2)绝热压缩：$$C_V={5\over 2}R$$, $$\gamma ={7\over 5}$$
由绝热方程：$$p_1V_1^\gamma =p_2V_2^\gamma $$, $$V_2=({p_1V_1^\gamma \over p_2})^{1\over\gamma }$$
$$V_2=({p_1V_2^\gamma \over p_2})^{1\over\gamma }=({p_1\over p_2})^{1\over\gamma }V_1$$$$=({1\over 10})^{1\over 4}\times 0.01=1.93\times 10^{-3}m$$
由绝热方程：$$T_1^\gamma p_1^{\gamma -1}=T_2^{-\gamma }p_2^{-\gamma }$$
得：$$T_2^\gamma ={T_1^\gamma p_2^{\gamma -1}\over p_1^{\gamma -1}}=300^{1.4}\times (10)^{0.4}$$，$$T_2=579K$$
由热力学第一定律：$$Q=\triangle E+A$$, Q=0
所以：$$A=-{M\over M_{mol}}C_V(T_2-T_1)$$
$$pV={M\over M_{mol}}RT$$, $$A=-{p_1V_1\over RT_1}{5\over 2}R(T_2-T_1)$$
$$A=$$$$-{1.013\times 10^5\times 0.001\over 300}\times {5\over 2}\times (579-300)$$$$=-23.5\times 10^3J$$
解析
根据理想气体状态方程，等温压缩过程中温度保持不变，即$$T_1=T_2$$。根据玻意耳定律，$$p_1V_1=p_2V_2$$，可以求得压缩后的体积$$V_2$$。
步骤 2：等温压缩对外做功计算
等温压缩过程中，对外做功的计算公式为$$A=vRT\rm{ln} {V_2\over V_1}$$，其中$$v$$为气体的摩尔体积，$$R$$为理想气体常数，$$T$$为温度，$$V_2$$和$$V_1$$分别为压缩后的体积和初始体积。
步骤 3：绝热压缩体积计算
绝热压缩过程中，温度和体积的变化遵循绝热方程$$p_1V_1^\gamma =p_2V_2^\gamma$$，其中$$\gamma$$为绝热指数，对于氮气，$$\gamma = {7\over 5}$$。根据此方程，可以求得压缩后的体积$$V_2$$。
步骤 4：绝热压缩温度计算
绝热压缩过程中，温度的变化遵循绝热方程$$T_1^\gamma p_1^{\gamma -1}=T_2^{-\gamma }p_2^{-\gamma }$$，根据此方程，可以求得压缩后的温度$$T_2$$。
步骤 5：绝热压缩对外做功计算
绝热压缩过程中，对外做功的计算公式为$$A=-{M\over M_{mol}}C_V(T_2-T_1)$$，其中$$M$$为气体的质量，$$M_{mol}$$为气体的摩尔质量，$$C_V$$为气体的定容比热容，$$T_2$$和$$T_1$$分别为压缩后的温度和初始温度。