题目
(本题10分)(0155) 如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动.假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动惯量为,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系.
(本题10分)(0155)
如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动.假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动惯量为
,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系.
题目解答
答案
解:根据牛顿运动定律和转动定律列方程
对物体: mg-T =ma ①
对滑轮: TR = J ②
运动学关系: a=R ③
将①、②、③式联立得
a=mg / (m+
M)
∵ v=0,
∴ v=at=mgt / (m+M)
解析
步骤 1：应用牛顿第二定律
对物体应用牛顿第二定律，得到物体的运动方程。物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用，根据牛顿第二定律，有：
$$ mg - T = ma $$
步骤 2：应用转动定律
对滑轮应用转动定律，得到滑轮的转动方程。滑轮受到绳子的拉力T的作用，根据转动定律，有：
$$ TR = J\alpha $$
其中，J是滑轮的转动惯量，$\alpha$是滑轮的角加速度。
步骤 3：联立方程求解
将转动惯量$J = \dfrac{1}{2}MR^2$和角加速度$\alpha = \dfrac{a}{R}$代入转动方程，得到：
$$ TR = \dfrac{1}{2}MR^2 \cdot \dfrac{a}{R} $$
$$ T = \dfrac{1}{2}Ma $$
将上式代入物体的运动方程，得到：
$$ mg - \dfrac{1}{2}Ma = ma $$
$$ a = \dfrac{mg}{m + \dfrac{1}{2}M} $$
步骤 4：求解速度与时间的关系
物体由静止开始下落，初速度为0，根据速度与加速度的关系，有：
$$ v = at $$
将加速度$a = \dfrac{mg}{m + \dfrac{1}{2}M}$代入上式，得到：
$$ v = \dfrac{mg}{m + \dfrac{1}{2}M}t $$
对物体应用牛顿第二定律，得到物体的运动方程。物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用，根据牛顿第二定律，有：
$$ mg - T = ma $$
步骤 2：应用转动定律
对滑轮应用转动定律，得到滑轮的转动方程。滑轮受到绳子的拉力T的作用，根据转动定律，有：
$$ TR = J\alpha $$
其中，J是滑轮的转动惯量，$\alpha$是滑轮的角加速度。
步骤 3：联立方程求解
将转动惯量$J = \dfrac{1}{2}MR^2$和角加速度$\alpha = \dfrac{a}{R}$代入转动方程，得到：
$$ TR = \dfrac{1}{2}MR^2 \cdot \dfrac{a}{R} $$
$$ T = \dfrac{1}{2}Ma $$
将上式代入物体的运动方程，得到：
$$ mg - \dfrac{1}{2}Ma = ma $$
$$ a = \dfrac{mg}{m + \dfrac{1}{2}M} $$
步骤 4：求解速度与时间的关系
物体由静止开始下落，初速度为0，根据速度与加速度的关系，有：
$$ v = at $$
将加速度$a = \dfrac{mg}{m + \dfrac{1}{2}M}$代入上式，得到：
$$ v = \dfrac{mg}{m + \dfrac{1}{2}M}t $$