31-4 如图所示,质量为m 1的光滑物块和轻弹簧构成振动系 m2-|||-统,已知两弹簧的劲度系数分别为 _(1)=3.0N/m _(2)=1.0N/m. 此系-|||-统沿弹簧的长度方向振动,周期 _(1)=1.0s, 振幅 _(1)=0.05m. 当物块 000 m1 000-|||-k1 k2-|||-经过平衡位置时有质量为 _(2)=0.10kg 的油泥块竖直地落到物块上-|||-并立即粘住.求新的振动周期和振幅.(取2位有效数字.) 题 31-4 图-|||-解:
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查弹簧振子系统的振动周期和振幅在质量变化时的调整，涉及弹簧的等效劲度系数计算、能量守恒及动量守恒的应用。
解题核心思路：
- 确定弹簧的连接方式：题目中两个弹簧沿长度方向振动，说明是并联连接，等效劲度系数为 $k_{\text{总}} = k_1 + k_2$。
- 周期变化：根据周期公式 $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$，质量增加后，周期增大。
- 振幅变化：油泥粘附瞬间动量守恒，碰撞后系统总动能减少，导致振幅减小。振幅与质量平方根成反比。
破题关键点：
- 正确计算等效劲度系数（并联）。
- 利用动量守恒求碰撞后速度，结合能量守恒求新振幅。
1. 确定等效劲度系数
两弹簧并联，等效劲度系数为：
$k_{\text{总}} = k_1 + k_2 = 3.0 \, \text{N/m} + 1.0 \, \text{N/m} = 4.0 \, \text{N/m}.$
2. 求原系统的质量 $m_1$
原周期 $T_1 = 1.0 \, \text{s}$，代入周期公式：
$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k_{\text{总}}}} \implies 1.0 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{4.0}}.$
解得：
$m_1 = \frac{4.0}{(2\pi)^2} \approx 0.101 \, \text{kg}.$
3. 新振动周期
油泥粘附后总质量 $m_{\text{总}} = m_1 + m_2 = 0.101 \, \text{kg} + 0.10 \, \text{kg} = 0.201 \, \text{kg}$，新周期为：
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_{\text{总}}}{k_{\text{总}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.201}{4.0}} \approx 1.4 \, \text{s}.$
4. 新振动振幅
碰撞前振子速度最大值为：
$v_{\text{max}} = \omega_1 A_1 = \frac{2\pi}{T_1} A_1 = 2\pi \cdot 0.05 \approx 0.314 \, \text{m/s}.$
动量守恒得碰撞后速度：
$v' = \frac{m_1}{m_{\text{总}}} v_{\text{max}} = \frac{0.101}{0.201} \cdot 0.314 \approx 0.156 \, \text{m/s}.$
新振幅由机械能守恒：
$A_2 = A_1 \sqrt{\frac{m_1}{m_{\text{总}}}} = 0.05 \cdot \sqrt{\frac{0.101}{0.201}} \approx 0.035 \, \text{m}.$