题目
31-4 如图所示,质量为m 1的光滑物块和轻弹簧构成振动系 m2-|||-统,已知两弹簧的劲度系数分别为 _(1)=3.0N/m _(2)=1.0N/m. 此系-|||-统沿弹簧的长度方向振动,周期 _(1)=1.0s, 振幅 _(1)=0.05m. 当物块 000 m1 000-|||-k1 k2-|||-经过平衡位置时有质量为 _(2)=0.10kg 的油泥块竖直地落到物块上-|||-并立即粘住.求新的振动周期和振幅.(取2位有效数字.) 题 31-4 图-|||-解:
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算原系统的总劲度系数
原系统由两个弹簧并联构成，因此总劲度系数 $k$ 为两个弹簧劲度系数之和，即 $k = k_1 + k_2$。代入已知的 $k_1 = 3.0N/m$ 和 $k_2 = 1.0N/m$，得到 $k = 4.0N/m$。
步骤 2：计算原系统的质量
原系统的振动周期 $T_1$ 与质量 $m_1$ 和总劲度系数 $k$ 有关，根据公式 $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$，可以解出 $m_1$。代入已知的 $T_1 = 1.0s$ 和 $k = 4.0N/m$，得到 $m_1 = \frac{kT_1^2}{4\pi^2} = \frac{4.0 \times 1.0^2}{4\pi^2} = \frac{1.0}{\pi^2} kg$。
步骤 3：计算新系统的质量
当质量为 $m_2 = 0.10kg$ 的油泥块粘在物块上时，新系统的总质量变为 $m_1 + m_2$。代入已知的 $m_2 = 0.10kg$，得到新系统的总质量 $m = m_1 + m_2 = \frac{1.0}{\pi^2} + 0.10 kg$。
步骤 4：计算新系统的振动周期
新系统的振动周期 $T_2$ 与新系统的总质量 $m$ 和总劲度系数 $k$ 有关，根据公式 $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，代入已知的 $k = 4.0N/m$ 和新系统的总质量 $m$，得到 $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1.0}{\pi^2} + 0.10}{4.0}}$。
步骤 5：计算新系统的振幅
当油泥块粘在物块上时，系统的总能量保持不变。原系统的总能量为 $\frac{1}{2}kA_1^2$，新系统的总能量为 $\frac{1}{2}kA_2^2$，其中 $A_2$ 为新系统的振幅。因此，有 $\frac{1}{2}kA_1^2 = \frac{1}{2}kA_2^2$，解出 $A_2 = A_1\sqrt{\frac{m_1}{m}}$。代入已知的 $A_1 = 0.05m$ 和新系统的总质量 $m$，得到 $A_2 = 0.05\sqrt{\frac{\frac{1.0}{\pi^2}}{\frac{1.0}{\pi^2} + 0.10}}$。
原系统由两个弹簧并联构成，因此总劲度系数 $k$ 为两个弹簧劲度系数之和，即 $k = k_1 + k_2$。代入已知的 $k_1 = 3.0N/m$ 和 $k_2 = 1.0N/m$，得到 $k = 4.0N/m$。
步骤 2：计算原系统的质量
原系统的振动周期 $T_1$ 与质量 $m_1$ 和总劲度系数 $k$ 有关，根据公式 $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$，可以解出 $m_1$。代入已知的 $T_1 = 1.0s$ 和 $k = 4.0N/m$，得到 $m_1 = \frac{kT_1^2}{4\pi^2} = \frac{4.0 \times 1.0^2}{4\pi^2} = \frac{1.0}{\pi^2} kg$。
步骤 3：计算新系统的质量
当质量为 $m_2 = 0.10kg$ 的油泥块粘在物块上时，新系统的总质量变为 $m_1 + m_2$。代入已知的 $m_2 = 0.10kg$，得到新系统的总质量 $m = m_1 + m_2 = \frac{1.0}{\pi^2} + 0.10 kg$。
步骤 4：计算新系统的振动周期
新系统的振动周期 $T_2$ 与新系统的总质量 $m$ 和总劲度系数 $k$ 有关，根据公式 $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，代入已知的 $k = 4.0N/m$ 和新系统的总质量 $m$，得到 $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{1.0}{\pi^2} + 0.10}{4.0}}$。
步骤 5：计算新系统的振幅
当油泥块粘在物块上时，系统的总能量保持不变。原系统的总能量为 $\frac{1}{2}kA_1^2$，新系统的总能量为 $\frac{1}{2}kA_2^2$，其中 $A_2$ 为新系统的振幅。因此，有 $\frac{1}{2}kA_1^2 = \frac{1}{2}kA_2^2$，解出 $A_2 = A_1\sqrt{\frac{m_1}{m}}$。代入已知的 $A_1 = 0.05m$ 和新系统的总质量 $m$，得到 $A_2 = 0.05\sqrt{\frac{\frac{1.0}{\pi^2}}{\frac{1.0}{\pi^2} + 0.10}}$。