题目
8-17 一个磁感强度为B的均匀磁场以恒定的变化率 dfrac (dB)(dt) 在变化.把一块质-|||-量为m的铜拉成截面半径为r的导线,并用它做成一个半径为R的圆形回路,-|||-圆形回路的平面与磁感强度B垂直.试证:这回路中的感应电流为-|||-=dfrac (m)(4pi pd)dfrac (dB)(dt)-|||-式中ρ为铜的电阻率,d为铜的密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算导线的电阻
导线的长度为 $l = 2\pi R$，导线的截面积为 $S = \pi r^2$，根据电阻的定义，导线的电阻为 $R' = \rho \dfrac{l}{S} = \rho \dfrac{2\pi R}{\pi r^2} = \dfrac{2\rho R}{r^2}$。
步骤 2：计算回路中的感应电动势
穿过回路的磁通量为 $\phi = BS = B\pi R^2$，根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为 $E = \dfrac{d\phi}{dt} = \pi R^2 \dfrac{dB}{dt}$。
步骤 3：计算回路中的感应电流
根据欧姆定律，回路中的感应电流为 $I = \dfrac{E}{R'} = \dfrac{\pi R^2 \dfrac{dB}{dt}}{\dfrac{2\rho R}{r^2}} = \dfrac{\pi R^2 r^2}{2\rho R} \dfrac{dB}{dt} = \dfrac{\pi R r^2}{2\rho} \dfrac{dB}{dt}$。
步骤 4：利用质量与密度的关系
根据质量与密度的关系，有 $m = d V = d \pi R r^2$，即 $\pi R r^2 = \dfrac{m}{d}$。
步骤 5：代入计算感应电流
将 $\pi R r^2 = \dfrac{m}{d}$ 代入步骤 3 的结果，得到 $I = \dfrac{\pi R r^2}{2\rho} \dfrac{dB}{dt} = \dfrac{m}{2\rho d} \dfrac{dB}{dt} = \dfrac{m}{4\pi \rho d} \dfrac{dB}{dt}$。
导线的长度为 $l = 2\pi R$，导线的截面积为 $S = \pi r^2$，根据电阻的定义，导线的电阻为 $R' = \rho \dfrac{l}{S} = \rho \dfrac{2\pi R}{\pi r^2} = \dfrac{2\rho R}{r^2}$。
步骤 2：计算回路中的感应电动势
穿过回路的磁通量为 $\phi = BS = B\pi R^2$，根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为 $E = \dfrac{d\phi}{dt} = \pi R^2 \dfrac{dB}{dt}$。
步骤 3：计算回路中的感应电流
根据欧姆定律，回路中的感应电流为 $I = \dfrac{E}{R'} = \dfrac{\pi R^2 \dfrac{dB}{dt}}{\dfrac{2\rho R}{r^2}} = \dfrac{\pi R^2 r^2}{2\rho R} \dfrac{dB}{dt} = \dfrac{\pi R r^2}{2\rho} \dfrac{dB}{dt}$。
步骤 4：利用质量与密度的关系
根据质量与密度的关系，有 $m = d V = d \pi R r^2$，即 $\pi R r^2 = \dfrac{m}{d}$。
步骤 5：代入计算感应电流
将 $\pi R r^2 = \dfrac{m}{d}$ 代入步骤 3 的结果，得到 $I = \dfrac{\pi R r^2}{2\rho} \dfrac{dB}{dt} = \dfrac{m}{2\rho d} \dfrac{dB}{dt} = \dfrac{m}{4\pi \rho d} \dfrac{dB}{dt}$。