设想有两个自由质点，其质量分别为(m)_(1)和(m)_(2)，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为frac (1) (2)l时，两质点的速度各为多少？
设想有两个自由质点，其质量分别为${m}_{1}$和${m}_{2}$，它们之间的相互作用符合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态，试求当它们的距离变为$\frac {1} {2}l$时，两质点的速度各为多少？
题目解答
答案
【答案】
${v}_{1}=\sqrt{\dfrac{2G{{m}_{2}}^{2}}{\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)l}}$，${v}_{2}=\sqrt{\dfrac{2G{{m}_{2}}^{2}}{\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)l}}$
【解析】
将两质点作为一个系统，系统万有引力做正功，重力势能减小，动能增加，减小的重力势能等于增加的动能；设所求${m}_{1}$的速度为${v}_{1}$，${m}_{2}$的速度为${v}_{2}$，取无穷远处重力势能0参考，则由能量守恒定律可得：$\left(-G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{l}\right)-\left(-G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{\dfrac{l}{2}}\right)=\dfrac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}+\dfrac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$；由于系统不受外力，系统动量守恒，根据动量守恒定律得：$0={m}_{1}{v}_{1}-{m}_{2}{v}_{2}$；联立解得：${v}_{1}=\sqrt{\dfrac{2G{{m}_{2}}^{2}}{\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)l}}$；${v}_{2}=\sqrt{\dfrac{2G{{m}_{2}}^{2}}{\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)l}}$
解析
根据能量守恒定律，系统的总能量（动能和势能之和）在没有外力做功的情况下保持不变。初始时，两质点静止，动能为0，势能为$-G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{l}$。当它们的距离变为$\frac {1} {2}l$时，势能变为$-G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{\frac{l}{2}}$。设此时${m}_{1}$的速度为${v}_{1}$，${m}_{2}$的速度为${v}_{2}$，则动能为$\dfrac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}+\dfrac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$。因此，根据能量守恒定律，有：
$$\left(-G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{l}\right)-\left(-G\dfrac{{m}_{1}{m}_{2}}{\frac{l}{2}}\right)=\dfrac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}+\dfrac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$$
步骤 2：动量守恒定律
由于系统不受外力，系统动量守恒。初始时，两质点静止，动量为0。当它们的距离变为$\frac {1} {2}l$时，动量为${m}_{1}{v}_{1}-{m}_{2}{v}_{2}$。因此，根据动量守恒定律，有：
$$0={m}_{1}{v}_{1}-{m}_{2}{v}_{2}$$
步骤 3：联立求解
联立步骤1和步骤2中的方程，可以求解出${v}_{1}$和${v}_{2}$的值。