题目
3-25 如习题 3-25 图所示,刚体由长为l,质-|||-量为m的匀质细杆和一质量为m的小球牢固连接在-|||-杆的一端而成,可绕过杆的另一端O点的水平轴转 ()-|||-动.先将杆拉至水平然后让其自由转下.若轴处摩擦-|||-可以忽略.求:(1)刚体绕O轴的转动惯量;(2)当杆 ()-|||-与竖直线成θ角时,刚体的角速度w-|||-O-|||-0 m-|||-i-|||-m-|||-习题 3-25 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算刚体绕O轴的转动惯量
刚体由一个质量为m的匀质细杆和一个质量为m的小球组成。根据转动惯量的叠加原理，刚体绕O轴的转动惯量等于细杆和小球绕O轴的转动惯量之和。
细杆绕O轴的转动惯量为：$I_{rod} = \frac{1}{3}m{l}^{2}$
小球绕O轴的转动惯量为：$I_{ball} = m{l}^{2}$
因此，刚体绕O轴的转动惯量为：$I = I_{rod} + I_{ball} = \frac{1}{3}m{l}^{2} + m{l}^{2} = \frac{4}{3}m{l}^{2}$
步骤 2：计算当杆与竖直线成θ角时，刚体的角速度
根据机械能守恒定律，刚体在自由转下过程中，其机械能守恒。初始时刻，刚体的势能为：$E_{p} = mgl$
当杆与竖直线成θ角时，刚体的势能为：$E_{p}' = mgl\cos \theta$
刚体的动能为：$E_{k} = \frac{1}{2}I{\omega}^{2}$
根据机械能守恒定律，有：$E_{p} = E_{p}' + E_{k}$
即：$mgl = mgl\cos \theta + \frac{1}{2}I{\omega}^{2}$
解得：$\omega = \sqrt{\frac{2(mgl - mgl\cos \theta)}{I}} = \sqrt{\frac{2mg(1 - \cos \theta)}{\frac{4}{3}m{l}^{2}}} = \sqrt{\frac{3g(1 - \cos \theta)}{2{l}^{2}}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{l}\cos \theta}$
刚体由一个质量为m的匀质细杆和一个质量为m的小球组成。根据转动惯量的叠加原理，刚体绕O轴的转动惯量等于细杆和小球绕O轴的转动惯量之和。
细杆绕O轴的转动惯量为：$I_{rod} = \frac{1}{3}m{l}^{2}$
小球绕O轴的转动惯量为：$I_{ball} = m{l}^{2}$
因此，刚体绕O轴的转动惯量为：$I = I_{rod} + I_{ball} = \frac{1}{3}m{l}^{2} + m{l}^{2} = \frac{4}{3}m{l}^{2}$
步骤 2：计算当杆与竖直线成θ角时，刚体的角速度
根据机械能守恒定律，刚体在自由转下过程中，其机械能守恒。初始时刻，刚体的势能为：$E_{p} = mgl$
当杆与竖直线成θ角时，刚体的势能为：$E_{p}' = mgl\cos \theta$
刚体的动能为：$E_{k} = \frac{1}{2}I{\omega}^{2}$
根据机械能守恒定律，有：$E_{p} = E_{p}' + E_{k}$
即：$mgl = mgl\cos \theta + \frac{1}{2}I{\omega}^{2}$
解得：$\omega = \sqrt{\frac{2(mgl - mgl\cos \theta)}{I}} = \sqrt{\frac{2mg(1 - \cos \theta)}{\frac{4}{3}m{l}^{2}}} = \sqrt{\frac{3g(1 - \cos \theta)}{2{l}^{2}}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{l}\cos \theta}$