题目
-21 光滑的水平桌面上放置一半径为R的固-|||-定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数-|||-为μ.开始时物体的速率为v0,求:(1)t时刻物体的速-|||-率;(2)当物体速率从v0减少到 dfrac (1)(2)(v)_(0) 时,物体所经历-|||-的时间及经过的路程.
题目解答
答案
夸克学习有夸克答案S人口只见解析解析(1)对物体受力分析在切向上 a_{t}=-\\frac{mF_{5}}{m}\\cdot{s}\\circ{led}{1} 在法向上 a_{n}=\\frac{F_{k}}{m}=\\frac{v^{2}}{R}\\cdot{s}\\circ{led}{2} 由①②式联立得 a_{t}=-\\frac{M}{R}v^{2}+a_{t}=\\frac{dv}{dt}=-\\frac{\\mu}{R}v^{2}\\sin^{2}\\xi-\\frac{dv}{v^{2}}=\\frac{m}{R}dt\\frac{1}{v}=\\frac{\\mu}{R}t+C_{1} 两边同时积分得将 t=0,V_{2}v_{0} 代入上式得 C_{1}=\\frac{1}{v_{0}} 所以 v=\\frac{1}{\\frac{M}{R}t+\\frac{1}{V_{0}}}=\\frac{V_{0}R}{Mv_{0}t+R}(2) 当 V=\\frac{V_{0}R}{M_{0}R+R}=\\frac{V_{0}}{2} 时, t=\\frac{R}{MV_{0}} 此时经过的路程为 \\in{t}_{0}^{\\frac{R}{\\mu \\omega}}\\frac{v_{0}R}{\\mu \\omega t+R}dt=\\frac{R}{\\mu}\\ln(\\mu v_{0}t+R)\\in{t}_{0}^{R}=\\frac{R}{\\mu}l_{n}(2 R)-\\frac{R}{\\mu}l_{n}R=\\frac{R}{M}l_{n}2 就有解
解析
步骤 1：确定切向加速度
物体在圆环内侧运动时，受到的摩擦力提供切向加速度。根据牛顿第二定律，切向加速度 $a_t$ 可以表示为：
$$
a_t = -\mu \frac{v^2}{R}
$$
其中，$v$ 是物体的速率，$R$ 是圆环的半径，$\mu$ 是摩擦因数。负号表示加速度方向与速度方向相反，即物体减速。
步骤 2：建立速率与时间的关系
根据加速度的定义，$a_t = \frac{dv}{dt}$，将切向加速度代入，得到：
$$
\frac{dv}{dt} = -\mu \frac{v^2}{R}
$$
这是一个可分离变量的微分方程。分离变量并积分，得到：
$$
\int \frac{dv}{v^2} = -\mu \int \frac{dt}{R}
$$
积分后得到：
$$
-\frac{1}{v} = -\frac{\mu}{R}t + C
$$
其中，$C$ 是积分常数。利用初始条件 $t=0$ 时 $v=v_0$，可以确定 $C$ 的值：
$$
-\frac{1}{v_0} = C
$$
因此，速率与时间的关系为：
$$
-\frac{1}{v} = -\frac{\mu}{R}t - \frac{1}{v_0}
$$
整理得到：
$$
v = \frac{v_0 R}{\mu v_0 t + R}
$$
步骤 3：计算速率从 $v_0$ 减少到 $\frac{1}{2}v_0$ 时的时间和路程
将 $v = \frac{1}{2}v_0$ 代入速率与时间的关系式，得到：
$$
\frac{1}{2}v_0 = \frac{v_0 R}{\mu v_0 t + R}
$$
解得：
$$
t = \frac{R}{\mu v_0}
$$
接下来计算物体经过的路程。路程 $s$ 可以表示为速率 $v$ 对时间 $t$ 的积分：
$$
s = \int_0^t v dt = \int_0^{\frac{R}{\mu v_0}} \frac{v_0 R}{\mu v_0 t + R} dt
$$
令 $u = \mu v_0 t + R$，则 $du = \mu v_0 dt$，代入积分得到：
$$
s = \frac{R}{\mu} \int_R^{2R} \frac{du}{u} = \frac{R}{\mu} \ln \frac{2R}{R} = \frac{R}{\mu} \ln 2
$$
物体在圆环内侧运动时，受到的摩擦力提供切向加速度。根据牛顿第二定律，切向加速度 $a_t$ 可以表示为：
$$
a_t = -\mu \frac{v^2}{R}
$$
其中，$v$ 是物体的速率，$R$ 是圆环的半径，$\mu$ 是摩擦因数。负号表示加速度方向与速度方向相反，即物体减速。
步骤 2：建立速率与时间的关系
根据加速度的定义，$a_t = \frac{dv}{dt}$，将切向加速度代入，得到：
$$
\frac{dv}{dt} = -\mu \frac{v^2}{R}
$$
这是一个可分离变量的微分方程。分离变量并积分，得到：
$$
\int \frac{dv}{v^2} = -\mu \int \frac{dt}{R}
$$
积分后得到：
$$
-\frac{1}{v} = -\frac{\mu}{R}t + C
$$
其中，$C$ 是积分常数。利用初始条件 $t=0$ 时 $v=v_0$，可以确定 $C$ 的值：
$$
-\frac{1}{v_0} = C
$$
因此，速率与时间的关系为：
$$
-\frac{1}{v} = -\frac{\mu}{R}t - \frac{1}{v_0}
$$
整理得到：
$$
v = \frac{v_0 R}{\mu v_0 t + R}
$$
步骤 3：计算速率从 $v_0$ 减少到 $\frac{1}{2}v_0$ 时的时间和路程
将 $v = \frac{1}{2}v_0$ 代入速率与时间的关系式，得到：
$$
\frac{1}{2}v_0 = \frac{v_0 R}{\mu v_0 t + R}
$$
解得：
$$
t = \frac{R}{\mu v_0}
$$
接下来计算物体经过的路程。路程 $s$ 可以表示为速率 $v$ 对时间 $t$ 的积分：
$$
s = \int_0^t v dt = \int_0^{\frac{R}{\mu v_0}} \frac{v_0 R}{\mu v_0 t + R} dt
$$
令 $u = \mu v_0 t + R$，则 $du = \mu v_0 dt$，代入积分得到：
$$
s = \frac{R}{\mu} \int_R^{2R} \frac{du}{u} = \frac{R}{\mu} \ln \frac{2R}{R} = \frac{R}{\mu} \ln 2
$$