题目

-21 光滑的水平桌面上放置一半径为R的固-|||-定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数-|||-为μ.开始时物体的速率为v0,求:(1)t时刻物体的速-|||-率;(2)当物体速率从v0减少到 dfrac (1)(2)(v)_(0) 时,物体所经历-|||-的时间及经过的路程.

题目解答

答案

夸克学习有夸克答案S人口只见解析解析(1)对物体受力分析在切向上 a_{t}=-\\frac{mF_{5}}{m}\\cdot{s}\\circ{led}{1} 在法向上 a_{n}=\\frac{F_{k}}{m}=\\frac{v^{2}}{R}\\cdot{s}\\circ{led}{2} 由①②式联立得 a_{t}=-\\frac{M}{R}v^{2}+a_{t}=\\frac{dv}{dt}=-\\frac{\\mu}{R}v^{2}\\sin^{2}\\xi-\\frac{dv}{v^{2}}=\\frac{m}{R}dt\\frac{1}{v}=\\frac{\\mu}{R}t+C_{1} 两边同时积分得将 t=0,V_{2}v_{0} 代入上式得 C_{1}=\\frac{1}{v_{0}} 所以 v=\\frac{1}{\\frac{M}{R}t+\\frac{1}{V_{0}}}=\\frac{V_{0}R}{Mv_{0}t+R}(2) 当 V=\\frac{V_{0}R}{M_{0}R+R}=\\frac{V_{0}}{2} 时, t=\\frac{R}{MV_{0}} 此时经过的路程为 \\in{t}_{0}^{\\frac{R}{\\mu \\omega}}\\frac{v_{0}R}{\\mu \\omega t+R}dt=\\frac{R}{\\mu}\\ln(\\mu v_{0}t+R)\\in{t}_{0}^{R}=\\frac{R}{\\mu}l_{n}(2 R)-\\frac{R}{\\mu}l_{n}R=\\frac{R}{M}l_{n}2 就有解

解析

考查要点：本题主要考查变力作用下的运动学问题，涉及切向加速度与法向加速度的分析、微分方程的建立与求解，以及变速度运动的路程计算。

解题核心思路：

  1. 受力分析：物体在圆环内侧运动时，摩擦力提供向心力（法向）并产生切向阻力。
  2. 动力学方程：通过牛顿第二定律分别建立切向和法向的动力学方程，联立消去法向量，得到关于速率的微分方程。
  3. 微分方程求解：分离变量积分求解速率随时间的变化，再通过积分速度求路程。

破题关键点：

  • 切向加速度的表达式：由摩擦力产生的切向加速度与速率平方成正比，方向与运动方向相反。
  • 变量分离积分：将速率的微分方程转化为可分离变量形式，利用初始条件确定积分常数。
  • 路程计算：对速度关于时间的积分，注意积分变量的代换技巧。

第（1）题

受力分析

物体受圆环的法向支持力$N$和切向摩擦力$f$，其中：

  • 法向：$N = \frac{mv^2}{R}$（提供向心力）
  • 切向：摩擦力$f = \mu N = \mu \frac{mv^2}{R}$，方向与速度方向相反。

建立微分方程

根据牛顿第二定律，切向加速度为：
$a_t = \frac{dv}{dt} = -\frac{f}{m} = -\frac{\mu v^2}{R}$

分离变量积分

将方程改写为：
$\frac{dv}{v^2} = -\frac{\mu}{R} dt$
积分得：
$\int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{v'^2} = -\frac{\mu}{R} \int_0^t dt'$
解得：
$\frac{1}{v} = \frac{\mu}{R} t + \frac{1}{v_0}$
最终速率表达式为：
$v(t) = \frac{v_0 R}{\mu v_0 t + R}$

第（2）题

求时间

当速率减半$v = \frac{v_0}{2}$时，代入速率表达式：
$\frac{v_0}{2} = \frac{v_0 R}{\mu v_0 t + R}$
解得：
$t = \frac{R}{\mu v_0}$

求路程

路程为速度对时间的积分：
$s = \int_0^t v(t') dt' = \int_0^{\frac{R}{\mu v_0}} \frac{v_0 R}{\mu v_0 t' + R} dt'$
令$u = \mu v_0 t' + R$，积分得：
$s = \frac{R}{\mu} \ln 2$