证明厄密算符的本征值为实数。

考查要点：本题主要考查对厄密算符性质的理解，特别是其本征值为实数的证明过程。关键在于利用厄密算符的定义和内积的对称性。

解题核心思路：

1. 从厄密算符的定义出发，即对于任意函数$\varphi$和$\psi$，有$\int \varphi^* \hat{T}\psi \, dx = \int (\hat{T}\varphi)^* \psi \, dx$。
2. 代入本征方程$\hat{T}\varphi = \lambda \varphi$，通过构造内积$\langle \varphi | \hat{T} \varphi \rangle$，比较左右两边的表达式。
3. 利用复数共轭性质，证明$\lambda = \lambda^*$，从而得出$\lambda$为实数。

破题关键点：

• 正确应用厄密算符的内积对称性。
• 注意本征值$\lambda$在内积中的共轭运算。

步骤1：写出厄密算符的定义
对于厄密算符$\hat{T}$，对任意函数$\varphi$和$\psi$，有：
$\int \varphi^* \hat{T}\psi \, dx = \int (\hat{T}\varphi)^* \psi \, dx.$

步骤2：代入本征方程
假设$\hat{T}\varphi = \lambda \varphi$，将$\varphi$和$\psi$均取为本征函数$\varphi$，代入定义式：
$\int \varphi^* \hat{T}\varphi \, dx = \int (\hat{T}\varphi)^* \varphi \, dx.$

步骤3：展开两边表达式
左边：$\int \varphi^* (\lambda \varphi) \, dx = \lambda \int \varphi^* \varphi \, dx = \lambda \langle \varphi | \varphi \rangle$。
右边：$\int (\lambda \varphi)^* \varphi \, dx = \int \lambda^* \varphi^* \varphi \, dx = \lambda^* \int \varphi^* \varphi \, dx = \lambda^* \langle \varphi | \varphi \rangle$。

步骤4：比较两边并化简
由等式$\lambda \langle \varphi | \varphi \rangle = \lambda^* \langle \varphi | \varphi \rangle$，若$\varphi \neq 0$，则$\langle \varphi | \varphi \rangle \neq 0$，可约去得：
$\lambda = \lambda^*.$

结论：$\lambda$等于其共轭复数，故$\lambda$为实数。