题目
证明厄密算符的本征值为实数。
证明厄密算符的本征值为实数。
题目解答
答案
证明:若
,
为厄米算符,
则证明
为实数。由厄米算符定义,
令
,
所以
因为
所以
,为实数。
解析
步骤 1：定义厄密算符
厄密算符（Hermitian operator）$\hat{H}$ 满足 $\hat{H}^{\dagger} = \hat{H}$，其中 $\hat{H}^{\dagger}$ 是 $\hat{H}$ 的共轭转置。这意味着对于任意两个函数 $\varphi$ 和 $\psi$，有 $\langle \varphi | \hat{H} | \psi \rangle = \langle \psi | \hat{H} | \varphi \rangle^*$。
步骤 2：本征值方程
假设 $\hat{H}$ 的本征值为 $\lambda$，对应的本征函数为 $\varphi$，则有 $\hat{H} \varphi = \lambda \varphi$。
步骤 3：利用厄密算符的性质
考虑 $\langle \varphi | \hat{H} | \varphi \rangle$，根据厄密算符的定义，有 $\langle \varphi | \hat{H} | \varphi \rangle = \langle \varphi | \lambda \varphi \rangle = \lambda \langle \varphi | \varphi \rangle$。同时，由于 $\hat{H}$ 是厄密算符，有 $\langle \varphi | \hat{H} | \varphi \rangle = \langle \hat{H} \varphi | \varphi \rangle = \langle \lambda \varphi | \varphi \rangle = \lambda^* \langle \varphi | \varphi \rangle$。
步骤 4：比较两个表达式
由于 $\langle \varphi | \varphi \rangle$ 是一个非零的实数，可以得到 $\lambda \langle \varphi | \varphi \rangle = \lambda^* \langle \varphi | \varphi \rangle$。因此，$\lambda = \lambda^*$，即 $\lambda$ 是实数。
厄密算符（Hermitian operator）$\hat{H}$ 满足 $\hat{H}^{\dagger} = \hat{H}$，其中 $\hat{H}^{\dagger}$ 是 $\hat{H}$ 的共轭转置。这意味着对于任意两个函数 $\varphi$ 和 $\psi$，有 $\langle \varphi | \hat{H} | \psi \rangle = \langle \psi | \hat{H} | \varphi \rangle^*$。
步骤 2：本征值方程
假设 $\hat{H}$ 的本征值为 $\lambda$，对应的本征函数为 $\varphi$，则有 $\hat{H} \varphi = \lambda \varphi$。
步骤 3：利用厄密算符的性质
考虑 $\langle \varphi | \hat{H} | \varphi \rangle$，根据厄密算符的定义，有 $\langle \varphi | \hat{H} | \varphi \rangle = \langle \varphi | \lambda \varphi \rangle = \lambda \langle \varphi | \varphi \rangle$。同时，由于 $\hat{H}$ 是厄密算符，有 $\langle \varphi | \hat{H} | \varphi \rangle = \langle \hat{H} \varphi | \varphi \rangle = \langle \lambda \varphi | \varphi \rangle = \lambda^* \langle \varphi | \varphi \rangle$。
步骤 4：比较两个表达式
由于 $\langle \varphi | \varphi \rangle$ 是一个非零的实数，可以得到 $\lambda \langle \varphi | \varphi \rangle = \lambda^* \langle \varphi | \varphi \rangle$。因此，$\lambda = \lambda^*$，即 $\lambda$ 是实数。