4、设均匀电场的电场强度 E 与半径 R 的半球面对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。

考查要点：本题主要考查电场强度通量的计算，涉及曲面积分的应用及对称性分析。

解题核心思路：

1. 通量公式：电场强度通量 $\Phi = \iint E \cdot dS$，其中 $E$ 为电场强度，$dS$ 为面积元素的法向量。
2. 对称性简化：利用半球面对称轴与电场方向平行的特点，将曲面积分转化为球坐标系下的积分。
3. 投影面积法：均匀电场穿过曲面的通量等于电场强度乘以曲面在垂直于电场方向的投影面积。

破题关键点：

• 明确半球面的法线方向与电场方向的夹角关系。
• 通过球坐标系积分或几何投影快速求解。

步骤1：建立坐标系与积分表达式

设半球面对称轴沿 $z$ 轴方向，电场强度 $\mathbf{E} = E \hat{z}$。半球面的法线方向为径向 $\hat{r}$，面积元素 $dS = R^2 \sin\theta \, d\theta d\phi$。
通量公式为：
$\Phi = \iint E \cdot dS = \iint E \cos\theta \, dS = E \iint \cos\theta \cdot R^2 \sin\theta \, d\theta d\phi$

步骤2：确定积分限与计算

• $\theta$ 范围：$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$（上半球面）。
• $\phi$ 范围：$0 \leq \phi \leq 2\pi$。
  积分化简为：
  $\Phi = E R^2 \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta$

步骤3：分步积分

1. $\phi$ 积分：$\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$。
2. $\theta$ 积分：令 $u = \sin\theta$，则 $\cos\theta d\theta = du$，积分变为：
   $\int_{0}^{1} u \, du = \frac{1}{2}$

步骤4：综合结果

$\Phi = E R^2 \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi E R^2$