题目
910(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的个面的电通量:(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?
910(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的
个面的电通量:(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面
的电通量是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用高斯定理
高斯定理表明，穿过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内包含的电荷量除以真空介电常数${\varepsilon }_{0}$。即 ${\varphi }_{E}=\oint \overrightarrow {E}\cdot d\overrightarrow {s}=\dfrac {q}{{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 2：计算点电荷位于立方体中心时的电通量
当点电荷q位于立方体中心时，由于立方体的对称性，穿过每个面的电通量相等。因此，每个面的电通量为总电通量除以6，即 ${\varphi }_{a}=\dfrac {q}{6{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 3：计算点电荷位于立方体顶点时的电通量
当点电荷q移动到立方体的一个顶点时，可以将立方体扩展为边长为2a的立方体，使q位于边长为2a的立方体中心。这样，边长为2a的立方体的每个面的电通量为 ${\varphi }_{t}=\dfrac {q}{6{\varepsilon }_{0}}$。对于边长为a的立方体，如果它不包含q所在的顶点，则每个面的电通量为 ${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{24{\varepsilon }_{0}}$，如果它包含q所在顶点，则电通量为0。
高斯定理表明，穿过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内包含的电荷量除以真空介电常数${\varepsilon }_{0}$。即 ${\varphi }_{E}=\oint \overrightarrow {E}\cdot d\overrightarrow {s}=\dfrac {q}{{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 2：计算点电荷位于立方体中心时的电通量
当点电荷q位于立方体中心时，由于立方体的对称性，穿过每个面的电通量相等。因此，每个面的电通量为总电通量除以6，即 ${\varphi }_{a}=\dfrac {q}{6{\varepsilon }_{0}}$。
步骤 3：计算点电荷位于立方体顶点时的电通量
当点电荷q移动到立方体的一个顶点时，可以将立方体扩展为边长为2a的立方体，使q位于边长为2a的立方体中心。这样，边长为2a的立方体的每个面的电通量为 ${\varphi }_{t}=\dfrac {q}{6{\varepsilon }_{0}}$。对于边长为a的立方体，如果它不包含q所在的顶点，则每个面的电通量为 ${\varphi }_{e}=\dfrac {q}{24{\varepsilon }_{0}}$，如果它包含q所在顶点，则电通量为0。