题目
-7 有两根相距为d 的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相反的电流,且电流均以dfrac (IP)(IP)的变化率增长.若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面,如图所示.求线圈中的感应电动势.dfrac (IP)(IP)
-7 有两根相距为d 的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相反的电流,且电流均以
的变化率增长.若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面,如图所示.求线圈中的感应电动势.
题目解答
答案
分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律
来求解.由于回路处在非均匀磁场中,磁通量就需用
来计算(其中B 为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1 与B2 之和).
为了积分的需要,建立如图所示的坐标系.由于B 仅与x 有关,即
,故取一个平行于长直导线的宽为dx、长为d 的面元dS,如图中阴影部分所示,则
,所以,总磁通量可通过线积分求得(若取面元
,则上述积分实际上为二重积分).本题在工程技术中又称为互感现象,也可用公式
求解.
解1 穿过面元dS 的磁通量为
因此穿过线圈的磁通量为
再由法拉第电磁感应定律,有
解2 当两长直导线有电流I 通过时,穿过线圈的磁通量为
线圈与两长直导线间的互感为
当电流以
变化时,线圈中的互感电动势为
试想:如线圈又以速率v 沿水平向右运动,如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢?此时线圈中既有动生电动势,又有感生电动势.设时刻t,线圈左端距右侧直导线的距离为ξ,则穿过回路的磁通量
,它表现为变量I和ξ的二元函数,将Φ代入
即可求解,求解时应按复合函数求导,注意,其中
,再令ξ=d 即可求得图示位置处回路中的总电动势.最终结果为两项,其中一项为动生电动势,另一项为感生电动势.
解析
步骤 1：确定磁通量的计算方法
由于回路处在非均匀磁场中，磁通量需要通过积分计算。建立坐标系，设面元dS为平行于长直导线的宽为dx、长为d的矩形面元，因此$dS=ddx$。磁通量可以通过线积分求得。
步骤 2：计算穿过面元dS的磁通量
穿过面元dS的磁通量为$d\phi =B\cdot dS={B}_{1}\cdot dS+{B}_{2}\cdot dS$，其中${B}_{1}$和${B}_{2}$分别为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度。根据安培环路定理，${B}_{1}=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi (x+d)}$，${B}_{2}=-\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi x}$。因此，$d\phi =\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi (x+d)}ddx-\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi x}ddx$。
步骤 3：计算总磁通量
总磁通量通过线积分求得，即$\phi =\int d\phi ={\int }_{d}^{2d}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi (x+d)}ddx-{\int }_{d}^{2d}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi x}ddx=\dfrac {{\mu }_{0}dI}{2\pi }\ln \dfrac {3}{2}$。
步骤 4：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$E=-\dfrac {d\phi }{dt}=-\dfrac {d}{dt}(\dfrac {{\mu }_{0}dI}{2\pi }\ln \dfrac {3}{2})=(\dfrac {{\mu }_{0}d}{2\pi }\ln \dfrac {3}{2})\dfrac {dI}{dt}$。
由于回路处在非均匀磁场中，磁通量需要通过积分计算。建立坐标系，设面元dS为平行于长直导线的宽为dx、长为d的矩形面元，因此$dS=ddx$。磁通量可以通过线积分求得。
步骤 2：计算穿过面元dS的磁通量
穿过面元dS的磁通量为$d\phi =B\cdot dS={B}_{1}\cdot dS+{B}_{2}\cdot dS$，其中${B}_{1}$和${B}_{2}$分别为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度。根据安培环路定理，${B}_{1}=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi (x+d)}$，${B}_{2}=-\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi x}$。因此，$d\phi =\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi (x+d)}ddx-\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi x}ddx$。
步骤 3：计算总磁通量
总磁通量通过线积分求得，即$\phi =\int d\phi ={\int }_{d}^{2d}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi (x+d)}ddx-{\int }_{d}^{2d}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi x}ddx=\dfrac {{\mu }_{0}dI}{2\pi }\ln \dfrac {3}{2}$。
步骤 4：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$E=-\dfrac {d\phi }{dt}=-\dfrac {d}{dt}(\dfrac {{\mu }_{0}dI}{2\pi }\ln \dfrac {3}{2})=(\dfrac {{\mu }_{0}d}{2\pi }\ln \dfrac {3}{2})\dfrac {dI}{dt}$。