题目
如图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上.现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞，相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度theta =(30)^circ 处（1）设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速theta =(30)^circ 的值；（2）相撞时小球受到多大的冲量.
如图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上.现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞，相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度
处
（1）设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速
的值；
（2）相撞时小球受到多大的冲量.
题目解答
答案
（1）设小球的初速度为，棒经小球碰撞后得到的初角速度为
，而小球的速度变为v.依题意，小球和棒发生弹性碰撞，遵守角动量守恒定律和机械能守恒定律，则得：
又
在棒向上摆动的过程中，由机械能守恒定律有：
联立解得：
（2）相碰时小球受到的冲量为：
负号表示冲量方向与小球初速度方向相反.
答：
（1）小球初速的值为
；
（2）相撞时小球受到的冲量为
，方向与小球初速度方向相反.
解析
步骤 1：确定碰撞过程中的角动量守恒
在碰撞过程中，小球和棒组成的系统角动量守恒。设小球的初速度为$v_0$，碰撞后小球的速度为$v$，棒的角速度为$\omega$。根据角动量守恒定律，有：
$$mv_0l = \frac{1}{3}Ml^2\omega + mvl$$
步骤 2：确定碰撞过程中的机械能守恒
在碰撞过程中，小球和棒组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}\frac{1}{3}Ml^2\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$$
步骤 3：确定棒摆动到最大角度时的机械能守恒
在棒摆动到最大角度$\theta = 30^\circ$时，棒的动能全部转化为重力势能。根据机械能守恒定律，有：
$$\frac{1}{2}\frac{1}{3}Ml^2\omega^2 = Mgl\left(1 - \cos 30^\circ\right)$$
步骤 4：联立求解
联立以上三个方程，可以求解出小球的初速度$v_0$和小球受到的冲量$I$。
在碰撞过程中，小球和棒组成的系统角动量守恒。设小球的初速度为$v_0$，碰撞后小球的速度为$v$，棒的角速度为$\omega$。根据角动量守恒定律，有：
$$mv_0l = \frac{1}{3}Ml^2\omega + mvl$$
步骤 2：确定碰撞过程中的机械能守恒
在碰撞过程中，小球和棒组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}\frac{1}{3}Ml^2\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$$
步骤 3：确定棒摆动到最大角度时的机械能守恒
在棒摆动到最大角度$\theta = 30^\circ$时，棒的动能全部转化为重力势能。根据机械能守恒定律，有：
$$\frac{1}{2}\frac{1}{3}Ml^2\omega^2 = Mgl\left(1 - \cos 30^\circ\right)$$
步骤 4：联立求解
联立以上三个方程，可以求解出小球的初速度$v_0$和小球受到的冲量$I$。