如图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上.现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞，相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度theta =(30)^circ 处（1）设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速theta =(30)^circ 的值；（2）相撞时小球受到多大的冲量.

考查要点：本题综合考查弹性碰撞中的角动量守恒、机械能守恒，以及碰撞后棒的机械能守恒。需要分阶段分析碰撞过程和摆动过程，建立方程联立求解。

解题核心思路：

1. 碰撞过程：小球与棒发生弹性碰撞，系统角动量守恒，机械能守恒。
2. 摆动过程：碰撞后棒的动能转化为重力势能，利用机械能守恒求棒的初角速度。
3. 联立方程：通过角动量守恒和机械能守恒方程，结合摆动过程的方程，最终解出小球初速度。

破题关键点：

• 转动惯量：棒绕端点的转动惯量为 $I = \frac{1}{3}M l^2$。
• 角动量守恒：碰撞前后系统角动量相等。
• 机械能守恒：碰撞前后机械能守恒，摆动过程中动能转化为势能。

第（1）题

碰撞过程的角动量守恒

碰撞前小球的角动量为 $m v_0 l$，碰撞后棒的角动量为 $I \omega$，小球的角动量为 $m v l$，故：
$m v_0 l = I \omega + m v l \tag{1}$

碰撞过程的机械能守恒

碰撞前小球的动能为 $\frac{1}{2} m v_0^2$，碰撞后棒的动能为 $\frac{1}{2} I \omega^2$，小球的动能为 $\frac{1}{2} m v^2$，故：
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2 \tag{2}$

摆动过程的机械能守恒

碰撞后棒的动能转化为势能，质心上升高度为 $\Delta h = \frac{l}{2}(1 - \cos\theta)$，故：
$\frac{1}{2} I \omega^2 = M g \cdot \frac{l}{2}(1 - \cos\theta) \tag{3}$

联立方程求解

1. 代入转动惯量 $I = \frac{1}{3} M l^2$ 到方程 (3)，解得：
   $\omega = \sqrt{\frac{3g(1 - \cos\theta)}{2l}}$
2. 将 $\omega$ 代入方程 (1) 和 (2)，消去 $v$，最终解得：
   $v_0 = \sqrt{\frac{3(2 - \sqrt{3})}{m} \cdot \frac{(3M + m)g l}{M}}$

第（2）题

冲量计算

根据动量定理，小球受到的冲量为：
$I = \Delta p = m(v - v_0)$
联立碰撞过程的方程，代入 $v_0$ 和 $v$ 的关系，最终得：
$I = -\frac{m}{3} \sqrt{6(2 - \sqrt{3})} \sqrt{\frac{(3M + m)g l}{M}}$
负号表示冲量方向与小球初速度方向相反。