题目
质点作曲线运动的方程为x=2t, y=4-t^2， 则t时刻质点的切向加速度a_1=______，法向加速度a_2=______。
质点作曲线运动的方程为$$x=2t$$, $$y=4-t^2$$，
则$$t$$时刻质点的切向加速度$$a_1$$=______，法向加速度$$a_2$$=______。
题目解答
答案
$$\frac{2t}{\root \of {1+t^2} }$$；$$\frac{2}{\root \of {1+t^2} }$$
解析
步骤 1：计算速度分量
根据质点的运动方程，我们首先计算速度分量。速度是位置对时间的导数，因此我们对$$x$$和$$y$$分别求导。
$$v_x = \frac{dx}{dt} = 2$$
$$v_y = \frac{dy}{dt} = -2t$$
步骤 2：计算加速度分量
接下来，我们计算加速度分量，即速度对时间的导数。
$$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$$
$$a_y = \frac{dv_y}{dt} = -2$$
步骤 3：计算切向加速度
切向加速度是加速度在速度方向上的分量。首先，我们计算速度的大小$$v$$。
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{2^2 + (-2t)^2} = \sqrt{4 + 4t^2} = 2\sqrt{1 + t^2}$$
切向加速度$$a_1$$是加速度在速度方向上的投影，即$$a_1 = \frac{a_xv_x + a_yv_y}{v}$$。
$$a_1 = \frac{0 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2t)}{2\sqrt{1 + t^2}} = \frac{4t}{2\sqrt{1 + t^2}} = \frac{2t}{\sqrt{1 + t^2}}$$
步骤 4：计算法向加速度
法向加速度是加速度在垂直于速度方向上的分量。法向加速度的大小可以用公式$$a_2 = \frac{v^2}{R}$$计算，其中$$R$$是曲率半径。但在这里，我们直接使用加速度的大小减去切向加速度的平方，再开方得到法向加速度的大小。
$$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$$
$$a_2 = \sqrt{a^2 - a_1^2} = \sqrt{2^2 - \left(\frac{2t}{\sqrt{1 + t^2}}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{4t^2}{1 + t^2}} = \sqrt{\frac{4 + 4t^2 - 4t^2}{1 + t^2}} = \sqrt{\frac{4}{1 + t^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + t^2}}$$
根据质点的运动方程，我们首先计算速度分量。速度是位置对时间的导数，因此我们对$$x$$和$$y$$分别求导。
$$v_x = \frac{dx}{dt} = 2$$
$$v_y = \frac{dy}{dt} = -2t$$
步骤 2：计算加速度分量
接下来，我们计算加速度分量，即速度对时间的导数。
$$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$$
$$a_y = \frac{dv_y}{dt} = -2$$
步骤 3：计算切向加速度
切向加速度是加速度在速度方向上的分量。首先，我们计算速度的大小$$v$$。
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{2^2 + (-2t)^2} = \sqrt{4 + 4t^2} = 2\sqrt{1 + t^2}$$
切向加速度$$a_1$$是加速度在速度方向上的投影，即$$a_1 = \frac{a_xv_x + a_yv_y}{v}$$。
$$a_1 = \frac{0 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2t)}{2\sqrt{1 + t^2}} = \frac{4t}{2\sqrt{1 + t^2}} = \frac{2t}{\sqrt{1 + t^2}}$$
步骤 4：计算法向加速度
法向加速度是加速度在垂直于速度方向上的分量。法向加速度的大小可以用公式$$a_2 = \frac{v^2}{R}$$计算，其中$$R$$是曲率半径。但在这里，我们直接使用加速度的大小减去切向加速度的平方，再开方得到法向加速度的大小。
$$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$$
$$a_2 = \sqrt{a^2 - a_1^2} = \sqrt{2^2 - \left(\frac{2t}{\sqrt{1 + t^2}}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{4t^2}{1 + t^2}} = \sqrt{\frac{4 + 4t^2 - 4t^2}{1 + t^2}} = \sqrt{\frac{4}{1 + t^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + t^2}}$$