题目
17,电荷Q均匀分布在半径为R的球体内试证离球心r处(r<R)的电势为
17,电荷Q均匀分布在半径为R的球体内试证离球心r处(r<R)的电势为
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定球内电场强度
由于电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，根据高斯定理，我们可以求出球内任意一点的电场强度。设球内任意一点离球心的距离为r(r步骤 2：计算球内电场强度
根据高斯定理，球内电场强度E1满足：${\int }_{S}{E}_{1}\cdot dS=\dfrac {1}{{\varepsilon }_{0}}{\int }_{V}\rho dV$，其中$\rho =\dfrac {Q}{\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}}$是球体内的电荷密度。因此，球内电场强度E1为：${E}_{1}=\dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}\cdot \dfrac {{r}^{3}}{{R}^{3}}=\dfrac {Qr}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{3}}$。
步骤 3：计算球内电势
球内电势V1可以通过电场强度E1的积分得到，即$V1=-{\int }_{R}^{r}{E}_{1}dr$。将步骤2中得到的E1代入，可以得到球内电势的表达式。
步骤 4：计算球外电势
球外电势V2可以通过球外电场强度E2的积分得到，即$V2=-{\int }_{\infty }^{R}{E}_{2}dr$。球外电场强度E2满足${\int }_{S}{E}_{2}\cdot dS=\dfrac {1}{{\varepsilon }_{0}}{\int }_{V}\rho dV$，其中$\rho =0$，因此球外电场强度E2为：${E}_{2}=\dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}$。
步骤 5：计算总电势
总电势V为球内电势V1和球外电势V2之和，即$V=V1+V2$。
由于电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，根据高斯定理，我们可以求出球内任意一点的电场强度。设球内任意一点离球心的距离为r(r
根据高斯定理，球内电场强度E1满足：${\int }_{S}{E}_{1}\cdot dS=\dfrac {1}{{\varepsilon }_{0}}{\int }_{V}\rho dV$，其中$\rho =\dfrac {Q}{\dfrac {4}{3}\pi {R}^{3}}$是球体内的电荷密度。因此，球内电场强度E1为：${E}_{1}=\dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}\cdot \dfrac {{r}^{3}}{{R}^{3}}=\dfrac {Qr}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{3}}$。
步骤 3：计算球内电势
球内电势V1可以通过电场强度E1的积分得到，即$V1=-{\int }_{R}^{r}{E}_{1}dr$。将步骤2中得到的E1代入，可以得到球内电势的表达式。
步骤 4：计算球外电势
球外电势V2可以通过球外电场强度E2的积分得到，即$V2=-{\int }_{\infty }^{R}{E}_{2}dr$。球外电场强度E2满足${\int }_{S}{E}_{2}\cdot dS=\dfrac {1}{{\varepsilon }_{0}}{\int }_{V}\rho dV$，其中$\rho =0$，因此球外电场强度E2为：${E}_{2}=\dfrac {Q}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}$。
步骤 5：计算总电势
总电势V为球内电势V1和球外电势V2之和，即$V=V1+V2$。