题目
1.2 写出约束在铅直平面内的光滑摆线-|||- x=a(θ-sinθ), y=-a(1-cosθ) -|||-上运动的质点的微分方程,并证明该质点在平衡位置附近作振动时,振动周期与振幅无关.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定质点的运动方程
质点在摆线上的运动方程为：$x=a(\theta-\sin\theta)$，$y=-a(1-\cos\theta)$。其中，$a$为摆线的参数，$\theta$为摆线的参数角。
步骤 2：计算质点的速度和加速度
质点的速度为：$v_x=\frac{dx}{dt}=a(\frac{d\theta}{dt}-\cos\theta\frac{d\theta}{dt})$，$v_y=\frac{dy}{dt}=a\sin\theta\frac{d\theta}{dt}$。
质点的加速度为：$a_x=\frac{d^2x}{dt^2}=a(\frac{d^2\theta}{dt^2}+\sin\theta(\frac{d\theta}{dt})^2-\cos\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})$，$a_y=\frac{d^2y}{dt^2}=a(\cos\theta(\frac{d\theta}{dt})^2+\sin\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})$。
步骤 3：应用牛顿第二定律
质点在摆线上的运动受到重力和约束力的作用。重力为：$mg$，约束力为：$N$。根据牛顿第二定律，有：$ma_x=N\cos\theta-mg\sin\theta$，$ma_y=-N\sin\theta-mg\cos\theta$。将质点的速度和加速度代入，得到：$a(\frac{d^2\theta}{dt^2}+\sin\theta(\frac{d\theta}{dt})^2-\cos\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})=N\cos\theta-mg\sin\theta$，$a(\cos\theta(\frac{d\theta}{dt})^2+\sin\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})=-N\sin\theta-mg\cos\theta$。消去约束力$N$，得到质点的微分方程：$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{a}\sin\theta=0$。
步骤 4：证明振动周期与振幅无关
当质点在平衡位置附近作振动时，$\theta$很小，$\sin\theta\approx\theta$。因此，质点的微分方程可以近似为：$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{a}\theta=0$。这是一个简谐振动的微分方程，其解为：$\theta=A\cos(\sqrt{\frac{g}{a}}t+\phi)$。其中，$A$为振幅，$\phi$为初相位。振动周期为：$T=2\pi\sqrt{\frac{a}{g}}$。可以看出，振动周期与振幅无关。
质点在摆线上的运动方程为：$x=a(\theta-\sin\theta)$，$y=-a(1-\cos\theta)$。其中，$a$为摆线的参数，$\theta$为摆线的参数角。
步骤 2：计算质点的速度和加速度
质点的速度为：$v_x=\frac{dx}{dt}=a(\frac{d\theta}{dt}-\cos\theta\frac{d\theta}{dt})$，$v_y=\frac{dy}{dt}=a\sin\theta\frac{d\theta}{dt}$。
质点的加速度为：$a_x=\frac{d^2x}{dt^2}=a(\frac{d^2\theta}{dt^2}+\sin\theta(\frac{d\theta}{dt})^2-\cos\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})$，$a_y=\frac{d^2y}{dt^2}=a(\cos\theta(\frac{d\theta}{dt})^2+\sin\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})$。
步骤 3：应用牛顿第二定律
质点在摆线上的运动受到重力和约束力的作用。重力为：$mg$，约束力为：$N$。根据牛顿第二定律，有：$ma_x=N\cos\theta-mg\sin\theta$，$ma_y=-N\sin\theta-mg\cos\theta$。将质点的速度和加速度代入，得到：$a(\frac{d^2\theta}{dt^2}+\sin\theta(\frac{d\theta}{dt})^2-\cos\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})=N\cos\theta-mg\sin\theta$，$a(\cos\theta(\frac{d\theta}{dt})^2+\sin\theta\frac{d^2\theta}{dt^2})=-N\sin\theta-mg\cos\theta$。消去约束力$N$，得到质点的微分方程：$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{a}\sin\theta=0$。
步骤 4：证明振动周期与振幅无关
当质点在平衡位置附近作振动时，$\theta$很小，$\sin\theta\approx\theta$。因此，质点的微分方程可以近似为：$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{a}\theta=0$。这是一个简谐振动的微分方程，其解为：$\theta=A\cos(\sqrt{\frac{g}{a}}t+\phi)$。其中，$A$为振幅，$\phi$为初相位。振动周期为：$T=2\pi\sqrt{\frac{a}{g}}$。可以看出，振动周期与振幅无关。