10-22 一定量的理想气体贮于体积不变的容器中,初态温度为T0平均速率为v0、碰撞频率为-|||-z0、平均自由程为λ0,当温度升高为4T0时,这些物理量分别为T,v,z,λ,求 dfrac (v)({v)_(0)} dfrac (2)(20) dfrac (lambda )(lambda 0) 各为多少?

考查要点：本题主要考查理想气体状态方程、分子平均速率、碰撞频率及平均自由程的温度依赖关系，需结合气体性质与温度变化的关联进行推导。

解题核心思路：

1. 体积不变时，温度变化导致压强变化，根据理想气体状态方程 $PV = NkT$，压强与温度成正比。
2. 平均速率与温度的平方根成正比，公式为 $v = \sqrt{\frac{3kT}{\pi m}}$。
3. 碰撞频率与分子数密度 $n$ 和平均速率 $v$ 的乘积成正比，而 $n$ 在体积固定时保持不变。
4. 平均自由程仅与分子数密度 $n$ 有关，与温度无关。

破题关键点：

• 温度升高到 $4T_0$，压强变为 $4P_0$。
• 平均速率 $v$ 随 $\sqrt{T}$ 增加，比例系数为 $2$。
• 碰撞频率 $z$ 与 $v$ 同步变化，比例系数也为 $2$。
• 平均自由程 $\lambda$ 由 $n$ 决定，保持不变。

平均速率 $\frac{v}{v_0}$

根据平均速率公式：
$v = \sqrt{\frac{3kT}{\pi m}}, \quad v_0 = \sqrt{\frac{3kT_0}{\pi m}}$
温度变为 $4T_0$ 时：
$\frac{v}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}} = \sqrt{\frac{4T_0}{T_0}} = 2$

碰撞频率 $\frac{z}{z_0}$

碰撞频率公式为：
$z = \sqrt{2} \cdot n \cdot \sigma \cdot v$
体积固定时分子数密度 $n = \frac{N}{V}$ 不变，$\sigma$ 为分子碰撞截面（常量）。因此：
$\frac{z}{z_0} = \frac{v}{v_0} = 2$

平均自由程 $\frac{\lambda}{\lambda_0}$

平均自由程公式为：
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot n \cdot \sigma}$
因 $n$ 不变，故：
$\frac{\lambda}{\lambda_0} = 1$