题目
物体作简谐振动的振幅 A = 4 cm 周期 T = 0.5s t = 0 时物体在平衡位置处并向负方向运动 则运动方程为 A.=0.04cos (4pi t+pi ) B.=0.04cos (4pi t+pi ) C.=0.04cos (4pi t+pi ) D.=0.04cos (4pi t+pi )
物体作简谐振动的振幅 A = 4 cm 周期 T = 0.5s t = 0 时物体在平衡位置处并向负方向运动 则运动方程为
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
我们要确定简谐振动的运动方程。已知条件有：振幅 (A = 4) cm，即 (0.04) m，周期 (T = 0.5) s，且物体在 (t = 0) 时处于平衡位置并向负方向运动。
首先，计算角频率
：
由于物体在 (t = 0) 时处于平衡位置（(x = 0)）且向负方向运动，说明此时速度为最大且方向向负，所以相位常数
必须为
（使余弦函数在平衡位置处并且负方向运动）。
运动方程可以写为：
代入已知值：
利用三角恒等式，
，所以方程变为：
但是，给出的选项中只有形式化的余弦方程，利用关系式
，最终得到：
因此，正确的选项是 C：
解析
步骤 1：计算角频率
根据简谐振动的周期公式，角频率 $\omega$ 可以通过周期 $T$ 计算得到。公式为 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。代入已知的周期 $T = 0.5$ s，得到 $\omega = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi$ rad/s。
步骤 2：确定相位常数
物体在 $t = 0$ 时处于平衡位置且向负方向运动，这意味着在 $t = 0$ 时，位移 $x = 0$，且速度为最大值且方向为负。简谐振动的运动方程为 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\phi$ 是相位常数。由于物体在 $t = 0$ 时处于平衡位置，且向负方向运动，相位常数 $\phi$ 必须使得 $\cos(\phi) = 0$ 且 $\sin(\phi) < 0$。这对应于 $\phi = -\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：写出运动方程
将角频率 $\omega = 4\pi$ rad/s 和相位常数 $\phi = -\frac{\pi}{2}$ 代入简谐振动的运动方程 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$，得到 $x(t) = 0.04\cos(4\pi t - \frac{\pi}{2})$。
根据简谐振动的周期公式，角频率 $\omega$ 可以通过周期 $T$ 计算得到。公式为 $\omega = \frac{2\pi}{T}$。代入已知的周期 $T = 0.5$ s，得到 $\omega = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi$ rad/s。
步骤 2：确定相位常数
物体在 $t = 0$ 时处于平衡位置且向负方向运动，这意味着在 $t = 0$ 时，位移 $x = 0$，且速度为最大值且方向为负。简谐振动的运动方程为 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\phi$ 是相位常数。由于物体在 $t = 0$ 时处于平衡位置，且向负方向运动，相位常数 $\phi$ 必须使得 $\cos(\phi) = 0$ 且 $\sin(\phi) < 0$。这对应于 $\phi = -\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：写出运动方程
将角频率 $\omega = 4\pi$ rad/s 和相位常数 $\phi = -\frac{\pi}{2}$ 代入简谐振动的运动方程 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$，得到 $x(t) = 0.04\cos(4\pi t - \frac{\pi}{2})$。