2-14 一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为 _(r)=km(v)^2,-|||-其中m为物体的质量,k为常量。试求:-|||-(1)该物体能上升的高度;-|||-(2)物体返回地面时速度的值。(设重力加速度为常量)

步骤 1：确定物体上升过程中的运动方程
物体在上升过程中，受到重力和空气阻力的作用。根据牛顿第二定律，物体的加速度为：
$$
ma = -mg - kmv^2
$$
其中，$m$ 是物体的质量，$g$ 是重力加速度，$v$ 是物体的速度，$k$ 是常量。将加速度表示为速度对时间的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$，得到：
$$
m\frac{dv}{dt} = -mg - kmv^2
$$
步骤 2：求解物体上升的最大高度
将上式改写为：
$$
\frac{dv}{dt} = -g - kv^2
$$
由于 $v = \frac{dy}{dt}$，可以将上式改写为：
$$
\frac{dv}{dy} \frac{dy}{dt} = -g - kv^2
$$
即：
$$
\frac{dv}{dy} v = -g - kv^2
$$
分离变量并积分：
$$
\int \frac{v}{-g - kv^2} dv = \int dy
$$
令 $u = -g - kv^2$，则 $du = -2kv dv$，代入上式得：
$$
-\frac{1}{2k} \int \frac{du}{u} = \int dy
$$
积分后得到：
$$
-\frac{1}{2k} \ln(-g - kv^2) = y + C
$$
其中，$C$ 是积分常数。当 $y = 0$ 时，$v = v_0$，代入上式求得 $C$：
$$
-\frac{1}{2k} \ln(-g - kv_0^2) = C
$$
因此，物体上升的最大高度 $h$ 满足：
$$
-\frac{1}{2k} \ln(-g - kv^2) = h - \frac{1}{2k} \ln(-g - kv_0^2)
$$
当 $v = 0$ 时，$h$ 达到最大值，代入上式得：
$$
h = \frac{1}{2k} \ln \left( \frac{-g - kv_0^2}{-g} \right)
$$
步骤 3：求解物体返回地面时的速度
物体在下降过程中，受到重力和空气阻力的作用。根据牛顿第二定律，物体的加速度为：
$$
ma = -mg + kmv^2
$$
将加速度表示为速度对时间的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$，得到：
$$
m\frac{dv}{dt} = -mg + kmv^2
$$
将上式改写为：
$$
\frac{dv}{dt} = -g + kv^2
$$
由于 $v = \frac{dy}{dt}$，可以将上式改写为：
$$
\frac{dv}{dy} \frac{dy}{dt} = -g + kv^2
$$
即：
$$
\frac{dv}{dy} v = -g + kv^2
$$
分离变量并积分：
$$
\int \frac{v}{-g + kv^2} dv = \int dy
$$
令 $u = -g + kv^2$，则 $du = 2kv dv$，代入上式得：
$$
\frac{1}{2k} \int \frac{du}{u} = \int dy
$$
积分后得到：
$$
\frac{1}{2k} \ln(-g + kv^2) = y + C
$$
其中，$C$ 是积分常数。当 $y = h$ 时，$v = 0$，代入上式求得 $C$：
$$
\frac{1}{2k} \ln(-g) = C
$$
因此，物体返回地面时的速度 $v$ 满足：
$$
\frac{1}{2k} \ln(-g + kv^2) = -h + \frac{1}{2k} \ln(-g)
$$
当 $y = 0$ 时，$v$ 达到最大值，代入上式得：
$$
v = \sqrt{\frac{-g}{k} \left( 1 - e^{-2kh} \right)}
$$