题目

为清除井底的淤泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图)。已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①times 1m=1.5m，N，s，J分别表示米，牛，秒，焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)times 1m=1.5m

为清除井底的淤泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图)。已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s，在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

（说明：① $1N%5Ctimes%201m%3D1Jm$ ，N，s，J分别表示米，牛，秒，焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

题目解答

答案

如图所示建立x轴，设将抓起污泥的抓斗提升至井口所需要做的功为W，当抓斗提升至x时，作用力 $f%5Cleft%28x%5Cright%29$ 包括抓斗自身的重力400N，缆绳的重力 $%5Cleft%2830-x%5Cright%2950N$ ，污泥的重力 $2000-%5Cdfrac%7B20x%7D%7B3%7DN$

因此 $f%5Cleft%28x%5Cright%29%3D400%2B%5Cleft%2830-x%5Cright%2950%2B2000-%5Cdfrac%7B20x%7D%7B3%7D%3D3900-%5Cdfrac%7B170%7D%7B3%7Dx$

$%5Ctherefore%20W%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B30%7Df%5Cleft%28x%5Cright%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B30%7D%5Cleft%283900-%5Cdfrac%7B170%7D%7B3%7Dx%5Cright%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cleft%5B3900x-%5Cdfrac%7B85x%7D%7B3%7D%5Cright%5D_%7B0%7D%5E%7B30%7D%3D91500%5Cleft%28J%5Cright%29$