电量都是 Q 的两个点电荷相距为 l,联线中点为 O;有另一点电荷 q,在联线的中垂面上距 O 为 r 处。(1)求 q 所受的力;(2)若 q 开始时是静止的,然后让它自己运动,它将如何运动?分别就 q 与Q 同号和异号两种情况加以讨论。

考查要点：本题主要考查点电荷间库仑力的叠加、对称性分析，以及电荷在电场中运动的规律。

解题核心思路：

1. 库仑力的矢量合成：两个相同电荷Q对q的作用力需分别计算，再通过对称性简化矢量叠加。
2. 运动分析：根据力的方向和能量守恒，判断电荷q的运动趋势。同性电荷相斥导致q加速远离，异性电荷相吸导致q振动。

破题关键点：

• 对称性简化：两Q电荷关于O点对称，q在中垂面上，故两Q对q的横向分力抵消，总力仅沿中垂线方向。
• 力的表达式推导：通过勾股定理计算距离，结合库仑定律和分力分解得出总力。
• 能量守恒：同号时q不断加速，异号时q在电场力作用下做周期性振动。

第（1）题：求q所受的力

计算单个Q对q的力

每个Q到q的距离为：
$d = \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + r^2}$
单个Q对q的库仑力大小为：
$F = \frac{kQq}{d^2} = \frac{kQq}{\left(\left(\frac{l}{2}\right)^2 + r^2\right)}$

分解力的分量

由于对称性，两Q对q的横向分力抵消，总力仅沿中垂线方向。每个Q的纵向分力为：
$F_{\text{纵}} = F \cdot \cos\theta = \frac{kQq}{d^2} \cdot \frac{r}{d} = \frac{kQqr}{d^3}$
总力为两Q的纵向分力之和：
$F_{\text{总}} = 2F_{\text{纵}} = \frac{2kQqr}{\left(\left(\frac{l}{2}\right)^2 + r^2\right)^{3/2}}$

方向判断

• 同号：力方向背离O点。
• 异号：力方向指向O点。

第（2）题：q的运动分析

同号情况

• 力方向：背离O点。
• 运动趋势：q加速远离O点，因力始终做正功，速度无限增大，最终趋向无穷远。

异号情况

• 力方向：指向O点。
• 运动趋势：q以O为中心振动。到达O点时速度最大，越过O点后力反向减速，速度为零时返回，形成周期性振动，振幅保持为r。