题目
一质量为m的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动，设质点的最初速率是v0，当它运动一周时，其速率为((v)_(0))/(2)，求：（1）摩擦力做的功；（2）动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？
一质量为m的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动，设质点的最初速率是v0，当它运动一周时，其速率为$\frac{{v}_{0}}{2}$，求：
（1）摩擦力做的功；
（2）动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
（1）摩擦力做的功；
（2）动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
题目解答
答案
解：
（1）由动能定理可知：
摩擦力做功为W=Ek-Ek0=$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2=-\frac{3}{8}mv_0^2$．
（2）由于摩擦力是一恒力，且Ff=μmg，故有W=-Ffs=-2πrμmg，
可解得动摩擦因数$μ=\frac{3v_0^2}{16πrg}$．
（3）由于一周中损失的动能为$\frac{3}{8}mv_0^2$，
则在静止前可运行的圈数$n=|\frac{{{E_{k0}}}}{W}|=\frac{4}{3}$圈．
答：（1）摩擦力做功为-$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{8}$；（2）动摩擦因数为$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16πrg}$；（3）在静止以前质点运动了$\frac{4}{3}$圈．
（1）由动能定理可知：
摩擦力做功为W=Ek-Ek0=$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2=-\frac{3}{8}mv_0^2$．
（2）由于摩擦力是一恒力，且Ff=μmg，故有W=-Ffs=-2πrμmg，
可解得动摩擦因数$μ=\frac{3v_0^2}{16πrg}$．
（3）由于一周中损失的动能为$\frac{3}{8}mv_0^2$，
则在静止前可运行的圈数$n=|\frac{{{E_{k0}}}}{W}|=\frac{4}{3}$圈．
答：（1）摩擦力做功为-$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{8}$；（2）动摩擦因数为$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16πrg}$；（3）在静止以前质点运动了$\frac{4}{3}$圈．
解析
步骤 1：计算摩擦力做的功
根据动能定理，摩擦力做的功等于质点动能的变化量。质点的初动能为$\frac{1}{2}mv_0^2$，末动能为$\frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2$。因此，摩擦力做的功为：
\[W = \frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{3}{8}mv_0^2\]
步骤 2：计算动摩擦因数
摩擦力做功的大小等于摩擦力与质点运动路径长度的乘积。质点运动一周的路径长度为$2\pi r$，摩擦力大小为$\mu mg$，因此有：
\[W = -\mu mg \cdot 2\pi r\]
将步骤1中计算的摩擦力做的功代入，解得动摩擦因数$\mu$为：
\[\mu = \frac{3v_0^2}{16\pi rg}\]
步骤 3：计算质点在静止前运动的圈数
质点在静止前，其动能将全部转化为摩擦力做的功。设质点在静止前运动了$n$圈，则有：
\[n \cdot W = -\frac{1}{2}mv_0^2\]
将步骤1中计算的摩擦力做的功代入，解得质点在静止前运动的圈数$n$为：
\[n = \frac{4}{3}\]
根据动能定理，摩擦力做的功等于质点动能的变化量。质点的初动能为$\frac{1}{2}mv_0^2$，末动能为$\frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2$。因此，摩擦力做的功为：
\[W = \frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{3}{8}mv_0^2\]
步骤 2：计算动摩擦因数
摩擦力做功的大小等于摩擦力与质点运动路径长度的乘积。质点运动一周的路径长度为$2\pi r$，摩擦力大小为$\mu mg$，因此有：
\[W = -\mu mg \cdot 2\pi r\]
将步骤1中计算的摩擦力做的功代入，解得动摩擦因数$\mu$为：
\[\mu = \frac{3v_0^2}{16\pi rg}\]
步骤 3：计算质点在静止前运动的圈数
质点在静止前，其动能将全部转化为摩擦力做的功。设质点在静止前运动了$n$圈，则有：
\[n \cdot W = -\frac{1}{2}mv_0^2\]
将步骤1中计算的摩擦力做的功代入，解得质点在静止前运动的圈数$n$为：
\[n = \frac{4}{3}\]