题目
一质量为m的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动，设质点的最初速率是v0，当它运动一周时，其速率为((v)_(0))/(2)，求：（1）摩擦力做的功；（2）动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？
一质量为m的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动，设质点的最初速率是v0，当它运动一周时，其速率为$\frac{{v}_{0}}{2}$，求：
（1）摩擦力做的功；
（2）动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
（1）摩擦力做的功；
（2）动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
题目解答
答案
解：
（1）由动能定理可知：
摩擦力做功为W=Ek-Ek0=$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2=-\frac{3}{8}mv_0^2$．
（2）由于摩擦力是一恒力，且Ff=μmg，故有W=-Ffs=-2πrμmg，
可解得动摩擦因数$μ=\frac{3v_0^2}{16πrg}$．
（3）由于一周中损失的动能为$\frac{3}{8}mv_0^2$，
则在静止前可运行的圈数$n=|\frac{{{E_{k0}}}}{W}|=\frac{4}{3}$圈．
答：（1）摩擦力做功为-$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{8}$；（2）动摩擦因数为$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16πrg}$；（3）在静止以前质点运动了$\frac{4}{3}$圈．
（1）由动能定理可知：
摩擦力做功为W=Ek-Ek0=$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2=-\frac{3}{8}mv_0^2$．
（2）由于摩擦力是一恒力，且Ff=μmg，故有W=-Ffs=-2πrμmg，
可解得动摩擦因数$μ=\frac{3v_0^2}{16πrg}$．
（3）由于一周中损失的动能为$\frac{3}{8}mv_0^2$，
则在静止前可运行的圈数$n=|\frac{{{E_{k0}}}}{W}|=\frac{4}{3}$圈．
答：（1）摩擦力做功为-$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{8}$；（2）动摩擦因数为$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16πrg}$；（3）在静止以前质点运动了$\frac{4}{3}$圈．
解析
考查要点：本题主要考查动能定理的应用、恒力做功的计算，以及动摩擦因数的求解方法。关键在于理解摩擦力做功与动能变化的关系，并利用圆周运动的几何关系建立方程。
解题思路：
- 摩擦力做功：根据动能定理，摩擦力做的功等于动能的变化。由于向心力不做功，只需考虑摩擦力的作用。
- 动摩擦因数：摩擦力是恒力，其大小为$F_f = \mu mg$，结合功的公式$W = -F_f s$（$s$为路程）联立求解。
- 运动圈数：每圈动能损失相同，总圈数等于初始动能与每圈损失动能的比值。
破题关键：
- 动能定理是贯穿三问的核心工具。
- 摩擦力恒定导致每圈做功相同，简化了圈数计算。
（1）摩擦力做的功
根据动能定理，摩擦力做的功等于动能的变化：
$W = \Delta E_k = \frac{1}{2}m\left(\frac{v_0}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{3}{8}mv_0^2.$
（2）动摩擦因数
摩擦力大小为$F_f = \mu mg$，运动一周的路程为圆周长$2\pi r$，摩擦力做功为：
$W = -F_f \cdot 2\pi r = -\mu mg \cdot 2\pi r.$
联立（1）的结果：
$-\frac{3}{8}mv_0^2 = -\mu mg \cdot 2\pi r \quad \Rightarrow \quad \mu = \frac{3v_0^2}{16\pi rg}.$
（3）运动圈数
每圈动能损失为$\frac{3}{8}mv_0^2$，总初始动能为$\frac{1}{2}mv_0^2$，总圈数为：
$n = \frac{\text{初始动能}}{\text{每圈损失动能}} = \frac{\frac{1}{2}mv_0^2}{\frac{3}{8}mv_0^2} = \frac{4}{3}.$