题目
13-18 如图所示边长为20 cm的正方形导体回路,置于圆内的均匀磁-|||-场中,B为0.5T,方向垂直于导体回路,且以 0.1T/s 的变化率减小。图中ac-|||-的中点b为圆心,ac沿直径,求:(1)c、d、e、f各点感应电场的方向和大小(用-|||-矢量在图上标明);(2)ac、ce和eg段的电动势;(3)回路内的感应电动势有-|||-多大?(4)如果回路的电阻为2Ω,回路中电流有多大?(5)a和c两点间的电-|||-势差为多大?哪一点的电势高一些?(6)c、e两点间的电势差Vc为多少?-|||-xcxdx-|||-x×b|x-|||-a g-|||-xxx-|||-习题 13-18 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算感应电场的大小和方向
根据法拉第电磁感应定律，当磁场随时间变化时，会在导体回路中产生感应电场。感应电场的大小和方向可以通过以下公式计算：
\[ E = \frac{1}{2} \frac{dB}{dt} r \]
其中，\( E \) 是感应电场的大小，\( \frac{dB}{dt} \) 是磁场变化率，\( r \) 是从圆心到导体回路某点的距离。感应电场的方向与磁场变化的方向垂直，且遵循右手定则。
步骤 2：计算各点的感应电场
- 对于点c，\( r = 0.1 \) m，所以 \( E_c = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.1 = 5 \times 10^{-3} \) V/m。
- 对于点d，\( r = 0.1\sqrt{2} \) m，所以 \( E_d = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.1\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \times 10^{-3} \) V/m。
- 对于点e，\( r = 0.1\sqrt{5} \) m，所以 \( E_e = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.1\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \times 10^{-3} \) V/m。
- 对于点f，\( r = 0.2 \) m，所以 \( E_f = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.2 = 10 \times 10^{-3} \) V/m。
步骤 3：计算各段的电动势
- 对于ac段，由于ac是直径，所以电动势为0。
- 对于ce段，电动势为 \( \varepsilon_{ce} = E_c \times 0.1 = 5 \times 10^{-3} \times 0.1 = 10^{-3} \) V。
- 对于eg段，电动势为 \( \varepsilon_{eg} = E_e \times 0.1 = 5\sqrt{5} \times 10^{-3} \times 0.1 = 2 \times 10^{-3} \) V。
步骤 4：计算回路内的感应电动势
回路内的感应电动势为各段电动势之和，即 \( \varepsilon = \varepsilon_{ce} + \varepsilon_{eg} = 10^{-3} + 2 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-3} \) V。
步骤 5：计算回路中的电流
根据欧姆定律，回路中的电流为 \( I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{4 \times 10^{-3}}{2} = 2 \times 10^{-3} \) A。
步骤 6：计算a和c两点间的电势差
由于ac段的电动势为0，所以a和c两点间的电势差为 \( V_{ac} = \varepsilon_{ce} = 10^{-3} \) V，a点电势高。
步骤 7：计算c和e两点间的电势差
由于ce段的电动势为 \( 10^{-3} \) V，所以c和e两点间的电势差为 \( V_{ce} = 0 \) V。
根据法拉第电磁感应定律，当磁场随时间变化时，会在导体回路中产生感应电场。感应电场的大小和方向可以通过以下公式计算：
\[ E = \frac{1}{2} \frac{dB}{dt} r \]
其中，\( E \) 是感应电场的大小，\( \frac{dB}{dt} \) 是磁场变化率，\( r \) 是从圆心到导体回路某点的距离。感应电场的方向与磁场变化的方向垂直，且遵循右手定则。
步骤 2：计算各点的感应电场
- 对于点c，\( r = 0.1 \) m，所以 \( E_c = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.1 = 5 \times 10^{-3} \) V/m。
- 对于点d，\( r = 0.1\sqrt{2} \) m，所以 \( E_d = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.1\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \times 10^{-3} \) V/m。
- 对于点e，\( r = 0.1\sqrt{5} \) m，所以 \( E_e = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.1\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \times 10^{-3} \) V/m。
- 对于点f，\( r = 0.2 \) m，所以 \( E_f = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.2 = 10 \times 10^{-3} \) V/m。
步骤 3：计算各段的电动势
- 对于ac段，由于ac是直径，所以电动势为0。
- 对于ce段，电动势为 \( \varepsilon_{ce} = E_c \times 0.1 = 5 \times 10^{-3} \times 0.1 = 10^{-3} \) V。
- 对于eg段，电动势为 \( \varepsilon_{eg} = E_e \times 0.1 = 5\sqrt{5} \times 10^{-3} \times 0.1 = 2 \times 10^{-3} \) V。
步骤 4：计算回路内的感应电动势
回路内的感应电动势为各段电动势之和，即 \( \varepsilon = \varepsilon_{ce} + \varepsilon_{eg} = 10^{-3} + 2 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-3} \) V。
步骤 5：计算回路中的电流
根据欧姆定律，回路中的电流为 \( I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{4 \times 10^{-3}}{2} = 2 \times 10^{-3} \) A。
步骤 6：计算a和c两点间的电势差
由于ac段的电动势为0，所以a和c两点间的电势差为 \( V_{ac} = \varepsilon_{ce} = 10^{-3} \) V，a点电势高。
步骤 7：计算c和e两点间的电势差
由于ce段的电动势为 \( 10^{-3} \) V，所以c和e两点间的电势差为 \( V_{ce} = 0 \) V。