将质量为m的质点竖直上抛于有阻力的媒质中，设阻力与速度平方成正比，即R=mk2gv2，如上掷时的速度为v0，试证此质点又落至投掷点时的速度为：_(1)=dfrac ({v)_(0)}(sqrt {1+{k)^2(v)_(0)}}

步骤 1：建立坐标系和受力分析
选取坐标系Ox，质点受重力mg和阻力R=mk^{2}gv^{2}的作用。上升时，质点运动微分方程为：$m\overrightarrow {x}=-mg-m{k}^{2}g{v}^{2}$，其中v为速度，x为位移。

步骤 2：分离变量积分
将微分方程写为：$\dfrac {dx}{dx}=-g(1+{k}^{2}{x}^{2})$，分离变量并积分得：$\ln (1+{k}^{2}{x}^{2})=-2{k}^{2}gx+{C}_{1}$。利用初始条件$x=0\quad i={v}_{0}$，求得${C}_{1}=\ln (1+{k}^{2}{{v}_{0}}^{2})$，代入上式得：$1+{k}^{2}{x}^{2}=(1+{k}^{2}{{v}_{0}}^{2}){e}^{-2{k}^{2}gx}$。

步骤 3：求最高点位置
当质点到达最高点时，速度为0，即$i=0$，代入上式得：$r=\dfrac {1}{2{k}^{2}g}\ln (1+{k}^{2}{{v}_{0}}^{2})$。

步骤 4：下降时的运动微分方程
下降时，质点运动微分方程为：$m\overrightarrow {x}=-mg+m{k}^{2}g{v}^{2}$，写为：$\dfrac {dx}{dx}=-g(1-{k}^{2}{x}^{2})$，分离变量并积分得：$\ln (1-{k}^{2}{x}^{2})=2{k}^{2}gx+{C}_{2}$。利用初始条件$x=\dfrac {1}{2{k}^{2}{d}^{2}d}\ln 4+{k}^{2}{{v}_{0}}^{2}$，求得${C}_{2}=-\ln 4+{k}^{2}{{v}_{0}}^{2})$，代入上式得：$\ln (1+{k}^{2}{x}^{2})\cdot (1+{k}^{2}{{x}_{0}}^{2})=2{k}^{2}$。

步骤 5：求落至投掷点时的速度
当质点落至投掷点时，x=0，代入上式得：$(1+{k}^{2}{x}^{2})\cdot (1+{k}^{2}{{v}_{0}}^{2})=1$，解得质点又落至投掷点时的速度为：${v}_{1}=\dfrac {{v}_{0}}{\sqrt {1+{k}^{2}{{v}_{0}}^{2}}}$。