2.质量为2kg的物体在x轴上作直线运动,所受合力为 =2x+6,-|||-起始时物体在原点以 3m/s 向x轴正方向移动-|||-求:(1)运动方程-|||-(2)物体从原点运动到3m过程中合力做功-|||-(3) 2-4s 间合力做功

步骤 1：确定运动方程
根据牛顿第二定律，物体所受合力等于物体质量乘以加速度，即 F = ma。因此，我们有：
\[ F = 2x + 6 = 2a \]
\[ a = x + 3 \]
由于加速度是速度对时间的导数，我们有：
\[ \frac{dv}{dt} = x + 3 \]
速度是位置对时间的导数，因此：
\[ \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = x + 3 \]
\[ v \frac{dv}{dx} = x + 3 \]
分离变量并积分：
\[ \int v dv = \int (x + 3) dx \]
\[ \frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}x^2 + 3x + C \]
由于初始条件是 v(0) = 3，代入得：
\[ \frac{1}{2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2} \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 + C \]
\[ C = \frac{9}{2} \]
因此，运动方程为：
\[ \frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{9}{2} \]
\[ v^2 = x^2 + 6x + 9 \]
\[ v = \sqrt{x^2 + 6x + 9} \]
\[ v = x + 3 \]
步骤 2：计算从原点到3m过程中合力做功
合力做功等于力对位移的积分，即：
\[ W = \int_{0}^{3} F dx = \int_{0}^{3} (2x + 6) dx \]
\[ W = \left[ x^2 + 6x \right]_{0}^{3} \]
\[ W = (3^2 + 6 \cdot 3) - (0^2 + 6 \cdot 0) \]
\[ W = 9 + 18 = 27 \]
步骤 3：计算2-4s间合力做功
首先，我们需要确定物体在2s和4s时的位置。根据运动方程：
\[ v = x + 3 \]
\[ \frac{dx}{dt} = x + 3 \]
分离变量并积分：
\[ \int \frac{dx}{x + 3} = \int dt \]
\[ \ln|x + 3| = t + C \]
由于初始条件是 x(0) = 0，代入得：
\[ \ln|0 + 3| = 0 + C \]
\[ C = \ln 3 \]
因此，位置方程为：
\[ \ln|x + 3| = t + \ln 3 \]
\[ x + 3 = 3e^t \]
\[ x = 3e^t - 3 \]
在2s时，位置为：
\[ x(2) = 3e^2 - 3 \]
在4s时，位置为：
\[ x(4) = 3e^4 - 3 \]
合力做功为：
\[ W = \int_{x(2)}^{x(4)} F dx = \int_{3e^2 - 3}^{3e^4 - 3} (2x + 6) dx \]
\[ W = \left[ x^2 + 6x \right]_{3e^2 - 3}^{3e^4 - 3} \]
\[ W = \left( (3e^4 - 3)^2 + 6(3e^4 - 3) \right) - \left( (3e^2 - 3)^2 + 6(3e^2 - 3) \right) \]
\[ W = \left( 9e^8 - 18e^4 + 9 + 18e^4 - 18 \right) - \left( 9e^4 - 18e^2 + 9 + 18e^2 - 18 \right) \]
\[ W = 9e^8 - 9 - 9e^4 + 9 \]
\[ W = 9(e^8 - e^4) \]