[题目]-|||-质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 =2+6(x)^2, a-|||-的单位为m·s^2,x的单位为m.质点在 x=0 处,速度为-|||-cdot (s)^-1, 试求质点在任何坐标处的速度值.

考查要点：本题主要考查变力作用下质点运动的积分方法，涉及加速度与速度的关系及微分方程的求解。

解题核心思路：

1. 将加速度表达式转化为速度与位移的关系：利用加速度定义式 $a = \frac{dv}{dt}$，结合链式法则 $\frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx}$，将方程转化为关于速度 $v$ 和位移 $x$ 的微分方程。
2. 分离变量积分：对微分方程两边积分，结合初始条件确定积分常数。
3. 整理表达式：通过代数变形得到速度 $v$ 的显式表达式。

破题关键点：

• 正确应用链式法则，将加速度表达式转换为速度与位移的微分方程。
• 积分时注意常数项的处理，并利用初始条件 $x=0$ 时 $v=10$ 确定积分常数。

步骤1：建立微分方程
根据加速度定义式 $a = \frac{dv}{dt}$，结合链式法则 $\frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx}$，可得：
$a = v \frac{dv}{dx}$
将题目给出的 $a = 2 + 6x^2$ 代入，得到微分方程：
$v \frac{dv}{dx} = 2 + 6x^2$

步骤2：分离变量并积分
将方程改写为：
$v \, dv = (2 + 6x^2) \, dx$
对两边分别积分：
$\int v \, dv = \int (2 + 6x^2) \, dx$
计算得：
$\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + C$
其中 $C$ 为积分常数。

步骤3：应用初始条件确定常数
当 $x=0$ 时，$v=10$，代入上式：
$\frac{1}{2}(10)^2 = 2(0) + 2(0)^3 + C \implies C = 50$
因此方程变为：
$\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + 50$

步骤4：整理速度表达式
两边乘以2并整理：
$v^2 = 4x + 4x^3 + 100 = 4(x^3 + x + 25)$
取正根（速度大小为正）：
$v = 2\sqrt{x^3 + x + 25}$