题目
[题目]-|||-质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 =2+6(x)^2, a-|||-的单位为m·s^2,x的单位为m.质点在 x=0 处,速度为-|||-cdot (s)^-1, 试求质点在任何坐标处的速度值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定加速度与速度的关系
加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$。同时，速度 $v$ 是位置 $x$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v = \frac{dx}{dt}$。因此，加速度也可以表示为 $a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。
步骤 2：建立速度与位置的关系
根据题目给出的加速度与位置的关系 $a = 2 + 6x^2$，代入 $a = v \frac{dv}{dx}$，得到 $v \frac{dv}{dx} = 2 + 6x^2$。这是一个可分离变量的微分方程，可以写成 $v dv = (2 + 6x^2) dx$。
步骤 3：求解微分方程
对两边积分，得到 $\int v dv = \int (2 + 6x^2) dx$。左边积分得到 $\frac{1}{2}v^2$，右边积分得到 $2x + 2x^3 + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，有 $\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + C$。
步骤 4：确定积分常数
根据题目条件，当 $x=0$ 时，$v=10m/s$，代入上式得到 $\frac{1}{2} \cdot 10^2 = 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0^3 + C$，解得 $C = 50$。因此，速度与位置的关系为 $\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + 50$。
步骤 5：求解速度
将上式整理得到 $v^2 = 4x + 4x^3 + 100$，因此 $v = \sqrt{4x^3 + 4x + 100}$。由于速度是正值，我们取正根。
加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$。同时，速度 $v$ 是位置 $x$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v = \frac{dx}{dt}$。因此，加速度也可以表示为 $a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。
步骤 2：建立速度与位置的关系
根据题目给出的加速度与位置的关系 $a = 2 + 6x^2$，代入 $a = v \frac{dv}{dx}$，得到 $v \frac{dv}{dx} = 2 + 6x^2$。这是一个可分离变量的微分方程，可以写成 $v dv = (2 + 6x^2) dx$。
步骤 3：求解微分方程
对两边积分，得到 $\int v dv = \int (2 + 6x^2) dx$。左边积分得到 $\frac{1}{2}v^2$，右边积分得到 $2x + 2x^3 + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，有 $\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + C$。
步骤 4：确定积分常数
根据题目条件，当 $x=0$ 时，$v=10m/s$，代入上式得到 $\frac{1}{2} \cdot 10^2 = 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0^3 + C$，解得 $C = 50$。因此，速度与位置的关系为 $\frac{1}{2}v^2 = 2x + 2x^3 + 50$。
步骤 5：求解速度
将上式整理得到 $v^2 = 4x + 4x^3 + 100$，因此 $v = \sqrt{4x^3 + 4x + 100}$。由于速度是正值，我们取正根。