4.质点沿x轴运动,加速度 =-2(v)^2 t=0 时,质点的速度为v0,位置 _(0)=0 ,求质-|||-点的速度(1)随时间t变化的表达式v(t);(2)随坐标x变化的表达式v(x)。

考查要点：本题主要考查变力作用下的质点运动问题，涉及微分方程的建立与求解，以及速度随时间、坐标变化的表达式推导。

解题核心思路：

1. 第一问：利用加速度定义式 $a = \dfrac{dv}{dt}$，结合分离变量法解微分方程，积分时注意初始条件 $t=0$ 时 $v=v_0$。
2. 第二问：通过链式法则将加速度表示为 $a = v \dfrac{dv}{dx}$，再次分离变量积分，注意初始条件 $x=0$ 时 $v=v_0$。

破题关键点：

• 分离变量法的正确应用。
• 积分上下限的合理选择，确保初始条件代入正确。

第（1）题：求速度随时间 $t$ 的表达式 $v(t)$

建立微分方程

由加速度定义 $a = \dfrac{dv}{dt}$，代入已知 $a = -2v^2$，得：
$\frac{dv}{dt} = -2v^2$

分离变量并积分

将变量分离为：
$\frac{dv}{v^2} = -2 dt$
对两边积分，注意初始条件 $t=0$ 时 $v=v_0$：
$\int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{v'^2} = \int_{0}^{t} -2 dt'$

计算积分

左边积分结果为：
$\left[ -\frac{1}{v'} \right]_{v_0}^{v} = -\frac{1}{v} + \frac{1}{v_0}$
右边积分结果为：
$-2t$

整理结果

联立得：
$-\frac{1}{v} + \frac{1}{v_0} = -2t \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{v_0} + 2t \implies v(t) = \frac{v_0}{1 + 2v_0 t}$

第（2）题：求速度随坐标 $x$ 的表达式 $v(x)$

建立微分方程

利用链式法则 $a = \dfrac{dv}{dt} = v \dfrac{dv}{dx}$，代入 $a = -2v^2$，得：
$v \frac{dv}{dx} = -2v^2 \implies \frac{dv}{dx} = -2v$

分离变量并积分

分离变量为：
$\frac{dv}{v} = -2 dx$
对两边积分，注意初始条件 $x=0$ 时 $v=v_0$：
$\int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{v'} = \int_{0}^{x} -2 dx'$

计算积分

左边积分结果为：
$\ln v - \ln v_0 = \ln \frac{v}{v_0}$
右边积分结果为：
$-2x$

整理结果

联立得：
$\ln \frac{v}{v_0} = -2x \implies v(x) = v_0 e^{-2x}$