题目
注射器的活塞横截面积S1=1.2cm2，而注射器针孔的横截面积S2=0.25mm2。当注射器水平放置时，用F=4.9N的力压迫活塞，使之移动l=4cm，问水从注射器中流出需要多少时间？
注射器的活塞横截面积S1=1.2cm2，而注射器针孔的横截面积S2=0.25mm2。当注射器水平放置时，用F=4.9N的力压迫活塞，使之移动l=4cm，问水从注射器中流出需要多少时间？
题目解答
答案
解：（1）注射器桶内的压强p1=$\frac{F}{S_1}$…①
因为活塞处的流量和注射器针孔处的流量相同，
所以有Q=S1v1=S2v2……②
在伯努利方程p1+$\frac{1}{2}$ρv12+ρgh1=p2+$\frac{1}{2}$ρv22+ρgh2中，
注射器针孔处与大气接触处的液体压强p2=0Pa，
因为注射器水平放置，所以h1=h2，
因此ρgh1=ρgh2，
所以，p1+$\frac{1}{2}$ρv12=$\frac{1}{2}$ρv22……③
由①②③解得，v1=$\sqrt{\frac{2F}{ρ{S}_{1}[（\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}）^{2}-1]}}$=$\sqrt{\frac{2×4.9N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×1.2×1{0}^{-4}{m}^{2}[（\frac{1.2×1{0}^{-4}{m}^{2}}{0.25×1{0}^{-6}{m}^{2}}）^{2}-1]}}$≈0.02m/s，
（2）活塞移动的距离：l=4cm=0.04m，
由v=$\frac{s}{t}$可知，水从注射器中流出需要的时间：
t=$\frac{l}{{v}_{1}}$=$\frac{0.04m}{0.02m/s}$=2s。
答：水从注射器中流出需要的时间为2s。
因为活塞处的流量和注射器针孔处的流量相同，
所以有Q=S1v1=S2v2……②
在伯努利方程p1+$\frac{1}{2}$ρv12+ρgh1=p2+$\frac{1}{2}$ρv22+ρgh2中，
注射器针孔处与大气接触处的液体压强p2=0Pa，
因为注射器水平放置，所以h1=h2，
因此ρgh1=ρgh2，
所以，p1+$\frac{1}{2}$ρv12=$\frac{1}{2}$ρv22……③
由①②③解得，v1=$\sqrt{\frac{2F}{ρ{S}_{1}[（\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}）^{2}-1]}}$=$\sqrt{\frac{2×4.9N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×1.2×1{0}^{-4}{m}^{2}[（\frac{1.2×1{0}^{-4}{m}^{2}}{0.25×1{0}^{-6}{m}^{2}}）^{2}-1]}}$≈0.02m/s，
（2）活塞移动的距离：l=4cm=0.04m，
由v=$\frac{s}{t}$可知，水从注射器中流出需要的时间：
t=$\frac{l}{{v}_{1}}$=$\frac{0.04m}{0.02m/s}$=2s。
答：水从注射器中流出需要的时间为2s。
解析
步骤 1：计算注射器桶内的压强
根据压强的定义，压强等于力除以面积，即 \(p_1 = \frac{F}{S_1}\)。这里，\(F=4.9N\)，\(S_1=1.2cm^2=1.2\times10^{-4}m^2\)，所以 \(p_1 = \frac{4.9N}{1.2\times10^{-4}m^2}\)。
步骤 2：利用流量守恒原理
由于注射器水平放置，活塞处的流量和注射器针孔处的流量相同，即 \(S_1v_1=S_2v_2\)，其中 \(v_1\) 和 \(v_2\) 分别是活塞处和针孔处的流速。
步骤 3：应用伯努利方程
伯努利方程为 \(p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2\)。由于注射器水平放置，\(h_1=h_2\)，且针孔处与大气接触，\(p_2=0\)，所以方程简化为 \(p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=\frac{1}{2}\rho v_2^2\)。
步骤 4：求解活塞处的流速
将步骤 1 和步骤 2 的结果代入步骤 3 的方程中，解得 \(v_1=\sqrt{\frac{2F}{\rho S_1[(\frac{S_1}{S_2})^2-1]}}\)。代入 \(F=4.9N\)，\(S_1=1.2\times10^{-4}m^2\)，\(S_2=0.25\times10^{-6}m^2\)，\(\rho=1\times10^3kg/m^3\)，计算得到 \(v_1\)。
步骤 5：计算水从注射器中流出的时间
由 \(v=\frac{s}{t}\) 可知，\(t=\frac{l}{v_1}\)，其中 \(l=4cm=0.04m\)，\(v_1\) 为步骤 4 中计算得到的值。
根据压强的定义，压强等于力除以面积，即 \(p_1 = \frac{F}{S_1}\)。这里，\(F=4.9N\)，\(S_1=1.2cm^2=1.2\times10^{-4}m^2\)，所以 \(p_1 = \frac{4.9N}{1.2\times10^{-4}m^2}\)。
步骤 2：利用流量守恒原理
由于注射器水平放置，活塞处的流量和注射器针孔处的流量相同，即 \(S_1v_1=S_2v_2\)，其中 \(v_1\) 和 \(v_2\) 分别是活塞处和针孔处的流速。
步骤 3：应用伯努利方程
伯努利方程为 \(p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2\)。由于注射器水平放置，\(h_1=h_2\)，且针孔处与大气接触，\(p_2=0\)，所以方程简化为 \(p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=\frac{1}{2}\rho v_2^2\)。
步骤 4：求解活塞处的流速
将步骤 1 和步骤 2 的结果代入步骤 3 的方程中，解得 \(v_1=\sqrt{\frac{2F}{\rho S_1[(\frac{S_1}{S_2})^2-1]}}\)。代入 \(F=4.9N\)，\(S_1=1.2\times10^{-4}m^2\)，\(S_2=0.25\times10^{-6}m^2\)，\(\rho=1\times10^3kg/m^3\)，计算得到 \(v_1\)。
步骤 5：计算水从注射器中流出的时间
由 \(v=\frac{s}{t}\) 可知，\(t=\frac{l}{v_1}\)，其中 \(l=4cm=0.04m\)，\(v_1\) 为步骤 4 中计算得到的值。