题目
6.20一平面简谐波沿x轴正向传播,如题6.20图所示,已知振幅为A,频率为v,波速为-|||-u.-|||-(1)若 t=0 时,原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动,写出此波的波动方程;-|||-(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等,试写出反射波的波动方程,并求x轴上-|||-因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置.-|||-波疏 波密-|||-O P x-|||-3λ/4-|||-反射面-|||-题6.20图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定入射波的波动方程
根据题意，原点O处质元在t=0时由平衡位置向位移正方向运动，因此波动方程的初相位为$-\frac{\pi}{2}$。入射波的波动方程可以表示为：
$y=A\cos [ 2\pi v(t-\dfrac {x}{u})-\dfrac {\pi }{2}] m$
步骤 2：确定反射波的波动方程
反射波的振幅与入射波振幅相等，因此反射波的振幅也为A。反射波在分界面处的位相为$-\frac{2\pi}{\lambda}\times \frac{3}{4}\lambda -\frac{\pi}{2}+\pi =-\pi$，因此反射波在O点处的位相为$-\frac{2\pi}{\lambda}\times \frac{3}{4}\lambda -\pi =\frac{-5}{2}\pi$，考虑到只考虑2π以内的位相角，反射波在O点的位相为$-\frac{\pi}{2}$。因此反射波的波动方程为：
${y}_{UND}=A\cos [ 2\pi v(t+\dfrac {x}{u})-\dfrac {\pi }{2}]$
步骤 3：确定驻波方程
入射波和反射波的叠加形成驻波，驻波方程为：
$y=A\cos [ 2\pi (t-\dfrac {x}{u})-\dfrac {\pi }{2}] +A\cos [ 2\pi v(t+\dfrac {x}{u})-\dfrac {\pi }{2}]$
$=2A\cos \dfrac {2\pi x}{u}\cos (2\pi vt-\dfrac {\pi }{2})$
步骤 4：确定波节位置
波节位置为$\dfrac{2\pi vx}{u}=\dfrac{2\pi}{\lambda}x=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}$，因此x=(2k+1)A/4 (k=0,±1,±2,···)。根据题意，k只能取0,1，即$x=\dfrac{1}{4}\lambda,\dfrac{3}{4}\lambda$。
根据题意，原点O处质元在t=0时由平衡位置向位移正方向运动，因此波动方程的初相位为$-\frac{\pi}{2}$。入射波的波动方程可以表示为：
$y=A\cos [ 2\pi v(t-\dfrac {x}{u})-\dfrac {\pi }{2}] m$
步骤 2：确定反射波的波动方程
反射波的振幅与入射波振幅相等，因此反射波的振幅也为A。反射波在分界面处的位相为$-\frac{2\pi}{\lambda}\times \frac{3}{4}\lambda -\frac{\pi}{2}+\pi =-\pi$，因此反射波在O点处的位相为$-\frac{2\pi}{\lambda}\times \frac{3}{4}\lambda -\pi =\frac{-5}{2}\pi$，考虑到只考虑2π以内的位相角，反射波在O点的位相为$-\frac{\pi}{2}$。因此反射波的波动方程为：
${y}_{UND}=A\cos [ 2\pi v(t+\dfrac {x}{u})-\dfrac {\pi }{2}]$
步骤 3：确定驻波方程
入射波和反射波的叠加形成驻波，驻波方程为：
$y=A\cos [ 2\pi (t-\dfrac {x}{u})-\dfrac {\pi }{2}] +A\cos [ 2\pi v(t+\dfrac {x}{u})-\dfrac {\pi }{2}]$
$=2A\cos \dfrac {2\pi x}{u}\cos (2\pi vt-\dfrac {\pi }{2})$
步骤 4：确定波节位置
波节位置为$\dfrac{2\pi vx}{u}=\dfrac{2\pi}{\lambda}x=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}$，因此x=(2k+1)A/4 (k=0,±1,±2,···)。根据题意，k只能取0,1，即$x=\dfrac{1}{4}\lambda,\dfrac{3}{4}\lambda$。