题目
粒子在一维无限深方势阱中运动(势阱宽度为a),其波函数为 varphi (x)=sqrt (dfrac {2)(a)}sin dfrac (3pi x)(a)-|||-(0lt xlt a) ,粒子出现的概率最大的各个位置是 x= __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波函数的表达式
波函数为 $\varphi (x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {3\pi x}{a}$ $(0\lt x\lt a)$，其中 $a$ 是势阱的宽度。
步骤 2：计算概率密度
粒子在位置 $x$ 出现的概率密度为 $|\varphi(x)|^2$。因此，概率密度为 $|\varphi(x)|^2 = \dfrac{2}{a}\sin^2 \dfrac{3\pi x}{a}$。
步骤 3：确定概率密度的最大值位置
概率密度的最大值出现在 $\sin^2 \dfrac{3\pi x}{a}$ 的最大值处，即 $\sin \dfrac{3\pi x}{a} = \pm 1$。这发生在 $\dfrac{3\pi x}{a} = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$，其中 $n$ 是整数。因此，$x = \dfrac{a}{6} + \dfrac{na}{3}$。由于 $0 < x < a$，我们只考虑 $n = 0, 1$ 的情况，即 $x = \dfrac{a}{6}$ 和 $x = \dfrac{5a}{6}$。
波函数为 $\varphi (x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {3\pi x}{a}$ $(0\lt x\lt a)$，其中 $a$ 是势阱的宽度。
步骤 2：计算概率密度
粒子在位置 $x$ 出现的概率密度为 $|\varphi(x)|^2$。因此，概率密度为 $|\varphi(x)|^2 = \dfrac{2}{a}\sin^2 \dfrac{3\pi x}{a}$。
步骤 3：确定概率密度的最大值位置
概率密度的最大值出现在 $\sin^2 \dfrac{3\pi x}{a}$ 的最大值处，即 $\sin \dfrac{3\pi x}{a} = \pm 1$。这发生在 $\dfrac{3\pi x}{a} = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$，其中 $n$ 是整数。因此，$x = \dfrac{a}{6} + \dfrac{na}{3}$。由于 $0 < x < a$，我们只考虑 $n = 0, 1$ 的情况，即 $x = \dfrac{a}{6}$ 和 $x = \dfrac{5a}{6}$。