[题目]一质点在x轴上作简谐振动,取该质点向-|||-右运动通过A点时作为计时起点 (t=0), 经过2s后质-|||-点第一次经过B点,再经过2s后质点第二次经过B-|||-点,若已知该质点在A、B两点具有相同的速率,且-|||-=10cm 求:-|||-(1)质点的振动方程;-|||-(2)质点在A点的速率。
题目解答
答案
解析
关键思路：本题考察简谐振动的对称性、周期计算及振动方程的建立。
- 对称性分析：A、B两点速率相同，说明它们关于平衡位置对称，AB距离为10cm，故平衡位置在AB中点，A、B到平衡位置的距离均为5cm。
- 周期确定：质点从B点到右侧最大位移的时间为2秒，对应四分之一周期，故总周期$T=8$秒。
- 振动方程建立：利用初始条件（t=0时位置和速度方向）确定振幅和初相位。
第（1）题：振动方程
确定周期与角频率
由题意，质点从B到右侧最大位移的时间为2秒，对应$\frac{T}{4}$，故周期$T=8$秒，角频率$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{4} \, \text{rad/s}$。
建立振动方程形式
设振动方程为$x = A \sin(\omega t + \varphi_0)$，其中$A$为振幅，$\varphi_0$为初相位。
初始条件代入
- t=0时：质点在A点（平衡位置左侧5cm），即$x(0) = -5 \, \text{cm}$，代入得：
$-5 = A \sin \varphi_0 \tag{1}$ - t=1s时：质点第一次经过平衡位置（x=0），代入得：
$0 = A \sin\left(\frac{\pi}{4} \cdot 1 + \varphi_0\right) \tag{2}$
联立方程求解
由方程(2)得$\frac{\pi}{4} + \varphi_0 = n\pi$，取$n=0$得$\varphi_0 = -\frac{\pi}{4}$。
将$\varphi_0$代入方程(1)得：
$-5 = A \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \implies A = 5\sqrt{2} \, \text{cm}$
最终振动方程
$x = 5\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{4}\right) \, \text{cm}$
第（2）题：A点的速率
速度表达式
对振动方程求导得速度：
$v = \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} \cos\left(\frac{\pi}{4}t - \frac{\pi}{4}\right) \, \text{cm/s}$
代入t=0
质点在A点的速率为：
$v = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{5\pi}{4} \, \text{cm/s} = \frac{5\pi}{4} \times 10^{-2} \, \text{m/s}$