题目
4.8 如图4.41所示,弹簧原长为AB,劲度系数为k,下端固定在A点,-|||-上端与一质量为m的木块相连,木块总靠在一半径为a的半圆柱的光滑表-|||-面上。今沿半圆的切向用力F拉木块使其极缓慢地移过θ角。求在这一过程-|||-中力F做的功。-|||-F-|||-m-|||-a-|||-∠e B-|||-" 0-|||-___-|||-A-|||-图4.41习题4.8用图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定木块的位移
木块在半圆柱上移动了θ角，因此木块沿半圆柱的切向位移为弧长s = aθ，其中a是半圆柱的半径，θ是木块移动的角度。
步骤 2：确定弹簧的伸长量
由于木块在半圆柱上移动，弹簧的长度会随着木块的移动而变化。当木块移动θ角时，弹簧的伸长量为x = aθ，因为弹簧的伸长量与木块的位移相同。
步骤 3：计算力F做的功
力F做的功等于力F与木块位移的乘积。由于木块在半圆柱上移动，力F的方向始终与木块的位移方向相同，因此力F做的功为W = F * s。根据胡克定律，力F = kx，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的伸长量。因此，力F做的功为W = kx * s = k(aθ) * aθ = ka^2θ^2 / 2。
步骤 4：计算重力做的功
木块在移动过程中，重力也对其做功。重力做的功等于重力与木块位移的乘积。由于木块在半圆柱上移动，重力的方向始终与木块的位移方向垂直，因此重力做的功为W = mg * a * sinθ，其中m是木块的质量，g是重力加速度。
步骤 5：计算总功
总功等于力F做的功与重力做的功之和。因此，总功为W = ka^2θ^2 / 2 + mga * sinθ。
木块在半圆柱上移动了θ角，因此木块沿半圆柱的切向位移为弧长s = aθ，其中a是半圆柱的半径，θ是木块移动的角度。
步骤 2：确定弹簧的伸长量
由于木块在半圆柱上移动，弹簧的长度会随着木块的移动而变化。当木块移动θ角时，弹簧的伸长量为x = aθ，因为弹簧的伸长量与木块的位移相同。
步骤 3：计算力F做的功
力F做的功等于力F与木块位移的乘积。由于木块在半圆柱上移动，力F的方向始终与木块的位移方向相同，因此力F做的功为W = F * s。根据胡克定律，力F = kx，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的伸长量。因此，力F做的功为W = kx * s = k(aθ) * aθ = ka^2θ^2 / 2。
步骤 4：计算重力做的功
木块在移动过程中，重力也对其做功。重力做的功等于重力与木块位移的乘积。由于木块在半圆柱上移动，重力的方向始终与木块的位移方向垂直，因此重力做的功为W = mg * a * sinθ，其中m是木块的质量，g是重力加速度。
步骤 5：计算总功
总功等于力F做的功与重力做的功之和。因此，总功为W = ka^2θ^2 / 2 + mga * sinθ。