题目
已知半径为R、带电量为Q的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强为=dfrac (Qx)(4pi {varepsilon )_(0)(({R)^2+(x)^2)}^32}X坐标轴沿圆环轴线,原点在环心,式中x为从场点到环心的位置坐标。利用这一结果,试推导一半径为R、电荷面密度为σ的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强,并进一步推导电荷面密度为σ的“无限大”均匀带电平面的场强。
已知半径为R、带电量为Q的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强为
X坐标轴沿圆环轴线,原点在环心,式中x为从场点到环心的位置坐标。利用这一结果,试推导一半径为R、电荷面密度为σ的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强,并进一步推导电荷面密度为σ的“无限大”均匀带电平面的场强。
题目解答
答案
解:如图所示,在盘平面上取中心在盘心O点,半径为r、宽为dr的细圆环,此圆环的带电量为dq = σds = 
。根据题给的结果,此带电细圆环在P点产生的元场强
大小为
。根据题给的结果,此带电细圆环在P点产生的元场强大小为
方向沿X轴正向。整个带电圆盘由许多半径不同的细圆环组成,它们在P点产生的元场强均沿X轴背离O点,故带电圆盘在P点的总场强就是所有细圆环场强的标量和,因此
场强的矢量式为
“无限大”均匀带电平面,相当于x<
解析
步骤 1：确定细圆环的带电量
在盘平面上取中心在盘心O点，半径为r、宽为dr的细圆环，此圆环的带电量为dq = σds = σ2πrdr。
步骤 2：计算细圆环在P点产生的元场强
根据题给的结果，此带电细圆环在P点产生的元场强大小为$dE=\dfrac {x{\sigma }^{2}\pi rdr}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({r}^{2}+{x}^{2})}^{3}{z}_{2}}$。
步骤 3：计算整个带电圆盘在P点的总场强
整个带电圆盘由许多半径不同的细圆环组成，它们在P点产生的元场强均沿X轴背离O点，故带电圆盘在P点的总场强就是所有细圆环场强的标量和，因此$E=\int dE=\dfrac {ax}{2{e}_{n}}{\int }_{0}^{k}\dfrac {rdr}{{({r}^{2}+{x}^{2})}^{3}z}=\dfrac {\sigma }{2{e}_{n}}(\dfrac {x}{\sqrt {x}}-\dfrac {x}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}})$。
步骤 4：计算“无限大”均匀带电平面的场强
“无限大”均匀带电平面，相当于x< R，此时$E=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}$。
在盘平面上取中心在盘心O点，半径为r、宽为dr的细圆环，此圆环的带电量为dq = σds = σ2πrdr。
步骤 2：计算细圆环在P点产生的元场强
根据题给的结果，此带电细圆环在P点产生的元场强大小为$dE=\dfrac {x{\sigma }^{2}\pi rdr}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({r}^{2}+{x}^{2})}^{3}{z}_{2}}$。
步骤 3：计算整个带电圆盘在P点的总场强
整个带电圆盘由许多半径不同的细圆环组成，它们在P点产生的元场强均沿X轴背离O点，故带电圆盘在P点的总场强就是所有细圆环场强的标量和，因此$E=\int dE=\dfrac {ax}{2{e}_{n}}{\int }_{0}^{k}\dfrac {rdr}{{({r}^{2}+{x}^{2})}^{3}z}=\dfrac {\sigma }{2{e}_{n}}(\dfrac {x}{\sqrt {x}}-\dfrac {x}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}})$。
步骤 4：计算“无限大”均匀带电平面的场强
“无限大”均匀带电平面，相当于x< R，此时$E=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}$。