题目
9-17 电荷q均匀分布在长为2l的细杆上,求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电-|||-势(设无穷远处电势为零).
题目解答
答案
9-17\\frac{q}{8 \\pi \\varepsilon_{0}l}\\ln(1+\\frac{2 l}{a})
解析
步骤 1：确定电荷分布和电势公式
细杆上的电荷q均匀分布，因此线电荷密度为λ = q / (2l)。在点P处的电势V可以通过积分公式计算，即V = ∫dV = ∫(k dq / r)，其中k是库仑常数，dq是电荷微元，r是电荷微元到点P的距离。
步骤 2：计算电势
在点P处，电荷微元dq到点P的距离r = a + x，其中x是电荷微元到杆端的距离。因此，电势V = ∫(k dq / r) = ∫(k λ dx / (a + x))，积分范围是0到2l。将λ = q / (2l)代入，得到V = (k q / (2l)) ∫(dx / (a + x))，积分范围是0到2l。
步骤 3：计算积分
计算积分∫(dx / (a + x))，积分范围是0到2l。得到V = (k q / (2l)) [ln(a + x)]_{0}^{2l} = (k q / (2l)) [ln(a + 2l) - ln(a)] = (k q / (2l)) ln((a + 2l) / a)。将k = 1 / (4πε₀)代入，得到V = (q / (8πε₀l)) ln((a + 2l) / a)。
细杆上的电荷q均匀分布，因此线电荷密度为λ = q / (2l)。在点P处的电势V可以通过积分公式计算，即V = ∫dV = ∫(k dq / r)，其中k是库仑常数，dq是电荷微元，r是电荷微元到点P的距离。
步骤 2：计算电势
在点P处，电荷微元dq到点P的距离r = a + x，其中x是电荷微元到杆端的距离。因此，电势V = ∫(k dq / r) = ∫(k λ dx / (a + x))，积分范围是0到2l。将λ = q / (2l)代入，得到V = (k q / (2l)) ∫(dx / (a + x))，积分范围是0到2l。
步骤 3：计算积分
计算积分∫(dx / (a + x))，积分范围是0到2l。得到V = (k q / (2l)) [ln(a + x)]_{0}^{2l} = (k q / (2l)) [ln(a + 2l) - ln(a)] = (k q / (2l)) ln((a + 2l) / a)。将k = 1 / (4πε₀)代入，得到V = (q / (8πε₀l)) ln((a + 2l) / a)。