题目

2-9 试计算面心立方晶体的(100),(110),(111)等晶面的面间距和面致密度,并指出面间距-|||-最大的面。

题目解答

答案

解析

本题主要考查面心立方晶体中不同晶面的面间距和面致密度的计算，以及根据计算结果找出面间距最大的面。解题思路如下：

  1. 面间距公式：对于立方晶系，面间距公式为$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$，在面心立方晶体中，当$(hkl)$不为全奇数或全偶数时，有附加面，此时面间距公式变为$d_{hkl}=\frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$。
  2. 面致密度公式：面致密度$K_{S}=\frac{A_{原子}}{A_{晶面}}$，其中$A_{原子}$是晶面上原子的总面积，$A_{晶面}$是晶面的面积。
  3. 计算各晶面的面间距和面致密度：分别将$(100)$、$(110)$、$(111)$晶面的指数代入上述公式进行计算。
  4. 比较面间距大小：根据计算结果，找出面间距最大的面。

（1）计算$(100)$晶面的面间距和面致密度

  • 面间距：
    对于$(100)$晶面，$h = 1$，$k = 0$，$l = 0$，代入面间距公式$d_{hkl}=\frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$可得：
    $d_{(100)}=\frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}}=0.5a$
  • 面致密度：
    在$(100)$晶面上，有$4$个位于面心的原子，每个原子的面积为$\pi r^{2}$，晶面面积为$a^{2}$。面心立方晶体中原子半径$r=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，则面致密度为：
    $K_{(100)}=\frac{(\frac{1}{4}\times4 + 1)\pi r^{2}}{a^{2}}=\frac{2\pi(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^{2}}{a^{2}}=\frac{2\pi\times\frac{2}{16}a^{2}}{a^{2}} = 0.785$

（2）计算$(110)$晶面的面间距和面致密度

  • 面间距：
    对于$(110)$晶面，$h = 1$，$k = 1$，$l = 0$，代入面间距公式$d_{hkl}=\frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$可得：
    $d_{(110)}=\frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}}=\frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{2}}=0.354a$
  • 面致密度：
    在$(110)$晶面上，有$4$个位于面心的原子和$2$个位于棱上的原子，每个原子的面积为$\pi r^{2}$，晶面面积为$\sqrt{2}a^{2}$。则面致密度为：
    $K_{(110)}=\frac{(\frac{1}{4}\times4+\frac{1}{2}\times2)\pi r^{2}}{\sqrt{2}a^{2}}=\frac{2\pi(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^{2}}{\sqrt{2}a^{2}}=\frac{2\pi\times\frac{2}{16}a^{2}}{\sqrt{2}a^{2}} = 0.555$

（3）计算$(111)$晶面的面间距和面致密度

  • 面间距：
    对于$(111)$晶面，$h = 1$，$k = 1$，$l = 1$，代入面间距公式$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$可得：
    $d_{(111)}=\frac{a}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=0.577a$
  • 面致密度：
    在$(111)$晶面上，有$3$个位于面心的原子和$3$个位于顶点的原子，每个原子的面积为$\pi r^{2}$，晶面面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{2}a)^{2}$。则面致密度为：
    $K_{(111)}=\frac{(\frac{1}{6}\times3+\frac{1}{2}\times3)\pi r^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{2}a)^{2}}=\frac{2\pi(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{2}a)^{2}}=\frac{2\pi\times\frac{2}{16}a^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\times2a^{2}} = 0.907$

（4）比较面间距大小

比较$d_{(100)} = 0.5a$，$d_{(110)} = 0.354a$，$d_{(111)} = 0.577a$的大小，可得$d_{(111)}>d_{(100)}>d_{(110)}$，所以面间距最大的面是$(111)$晶面。