二维简单正方晶格，晶格常数为 a。每个原胞有一个原子，每一个原子只有一个 s 态价电子，使用紧束缚近似，只计入近邻相互作用：(1) 求出 s 电子组成的 S 能带的 E(k) 函数。(2) 求出 S 能带带顶和带底的位置和能量值。(3) 求出电子在能带底部和顶部的有效质量。

本题主要考查二维简单正方晶格中 $s$ 电子组成的 $S$ 能带相关知识，包括 $E(k)$ 函数的求解、带顶和带底的位置与能量值的确定以及电子在能带底部和顶部有效质量的计算。解题思路如下：

1. 求解 $s$ 电子组成的 $S$ 能带的 $E(k)$ 函数：
   • 对于二维简单正方晶格，每个原胞有一个原子，每一个原子只有一个 $s$ 态价电子，使用紧束缚近似且只计入近邻相互作用。
   • 紧束缚近似下，$E(k)$ 的表达式为 $E(k)=E_0 - J_0 - \sum_{n} J_n e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}_n}$，其中 $E_0$ 是孤立原子的能级，$J_n$ 是与第 $n$ 个近邻原子相互作用的积分，$\vec{R}_n$ 是第 $n$ 个近邻原子的位矢。
   • 在二维简单正方晶格中，近邻原子有四个，分别位于 $(a,0)$、$(-a,0)$、$(0,a)$、$(0,-a)$，即 $\vec{R}_1 = a\hat{x}$，$\vec{R}_2 = -a\hat{x}$，$\vec{R}_3 = a\hat{y}$，$\vec{R}_4 = -a\hat{y}$，且 $J_1 = J_2 = J_3 = J_4 = V$。
   • 则 $E(k)=E_0 - J_0 - J_1 e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}_1}-J_2 e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}_2}-J_3 e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}_3}-J_4 e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}_4}$。
   • 设 $\vec{k}=k_x\hat{x}+k_y\hat{y}$，则 $\vec{k}\cdot\vec{R}_1 = k_x a$，$\vec{k}\cdot\vec{R}_2 = -k_x a$，$\vec{k}\cdot\vec{R}_3 = k_y a$，$\vec{k}\cdot\vec{R}_4 = -k_y a$。
   • 代入可得 $E(k)=E_0 - J_0 - V e^{ik_x a}-V e^{-ik_x a}-V e^{ik_y a}-V e^{-ik_y a}$。
   • 根据欧拉公式 $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$，则 $E(k)=E_0 - J_0 - 2V(\cos(k_x a) + \cos(k_y a))$。通常令 $E_0 - J_0 = E_0$，所以 $E(k) = E_0 + 2V (\cos(k_x a) + \cos(k_y a))$。
2. 求出 $S$ 能带带顶和带底的位置和能量值：
   • 对于余弦函数 $\cos\theta$，其取值范围是 $[-1,1]$。
   • 当 $\cos(k_x a)=1$ 且 $\cos(k_y a)=1$ 时，$E(k)$ 取得最大值，即带底能量。此时 $k_x a = 2n\pi$，$k_y a = 2m\pi$，$n,m\in Z$，取 $n = m = 0$，则 $k=(0,0)$，$E_{min}=E_0 + 2V(1 + 1)=E_0 + 4V$。
   • 当 $\cos(k_x a)=-1$ 且 $\cos(k_y a)=-1$ 时，$E(k)$ 取得最小值，即带顶能量。此时 $k_x a = (2n + 1)\pi$，$k_y a = (2m + 1)\pi$，$n,m\in Z$，取 $n = m = 0$，则 $k=(\frac{\pi}{a},\frac{\pi}{a})$，$E_{max}=E_0 + 2V(-1 - 1)=E_0 - 4V$。
3. 求出电子在能带底部和顶部的有效质量：
   • 有效质量的计算公式为 $m^*=\hbar^2(\frac{d^2E}{dk^2})^{-1}$。
   • 先对 $E(k) = E_0 + 2V (\cos(k_x a) + \cos(k_y a))$ 求一阶导数：
     • $\frac{dE}{dk_x}=-2Va\sin(k_x a)$，$\frac{dE}{dk_y}=-2Va\sin(k_y a)$。
   • 再求二阶导数：
     • $\frac{d^2E}{dk_x^2}=-2Va^2\cos(k_x a)$，$\frac{d^2E}{dk_y^2}=-2Va^2\cos(k_y a)$。
   • 在带底 $k=(0,0)$ 处：
     • $\frac{d^2E}{dk_x^2}=-2Va^2$，$\frac{d^2E}{dk_y^2}=-2Va^2$。
     • 则 $m^*=\hbar^2(\frac{d^2E}{dk^2})^{-1}=\hbar^2(\frac{1}{-2Va^2}+\frac{1}{-2Va^2})^{-1}=\frac{\hbar^2}{2|V| a^2}$。
   • 在带顶 $k=(\frac{\pi}{a},\frac{\pi}{a})$ 处：
     • $\frac{d^2E}{dk_x^2}=2Va^2$，$\frac{d^2E}{dk_y^2}=2Va^2$。
     • 则 $m^*=\hbar^2(\frac{d^2E}{dk^2})^{-1}=\hbar^2(\frac{1}{2Va^2}+\frac{1}{2Va^2})^{-1}=-\frac{\hbar^2}{2|V| a^2}$。