10.A进行平行分解反应,其速率式为-|||-A →R _(R)=1-|||-A →S _(s)=2(c)_(A)-|||-A →T _(T)=(c)_(A)-|||-其中R是所要求的目的产物, _(AO)=1kmolcdot (m)^-3 。试问在下述反应器进行等温操作时,预计-|||-最大的cR为多少?(1)全混流反应器;(2)平推流反应器。
题目解答
答案
解析
考查要点：本题考察连续反应器（CSTR和平推流PFR）中平行反应的浓度分析，重点在于理解不同反应器类型对产物浓度的影响，以及如何通过速率方程建立数学模型求解最大值。
解题核心思路：
- CSTR分析：利用稳态假设，建立浓度与反应速率的关系，通过极值分析确定R的最大浓度。
- PFR分析：通过微分方程描述浓度随停留时间的变化，结合积分求解R的生成量，并找到最大值。
破题关键点：
- 速率方程整合：正确写出总消耗速率，并区分不同反应器的物料衡算方程。
- 极值条件：CSTR中通过函数单调性直接确定最大值；PFR中通过求解微分方程并分析解的物理意义确定临界点。
(1) 全混流反应器（CSTR）
建立物料衡算方程
在CSTR中，稳态时进料速率等于消耗速率：
$c_{A0} = c_A + \tau (1 + 3c_A)$
其中$\tau$为停留时间，$c_A$为反应器内A的浓度。
R的生成量
R的生成速率为$r_R=1$，故：
$c_R = \tau \cdot 1 = \tau$
消除$\tau$，建立$c_R$与$c_A$的关系
由物料衡算方程得：
$\tau = \frac{1 - c_A}{1 + 3c_A}$
代入$c_R$表达式：
$c_R = \frac{1 - c_A}{1 + 3c_A}$
求最大值
对$c_R$关于$c_A$求导，发现导数恒为负，说明$c_R$随$c_A$增大而减小。因此，当$c_A=0$时，$c_R$取得最大值：
$c_{R1} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \, \text{mol·m}^{-3}$
(2) 平推流反应器（PFR）
建立微分方程
A的浓度变化率：
$\frac{dc_A}{d\tau} = - (1 + 3c_A)$
求解微分方程
分离变量并积分：
$\ln(1 + 3c_A) = -3\tau + \ln4$
解得：
$c_A = \frac{4e^{-3\tau} - 1}{3}$
R的生成量
R的生成速率为$r_R=1$，故：
$c_R = \int_0^\tau 1 \, d\tau' = \tau$
确定最大值条件
当$c_A \geq 0$时，停留时间$\tau$的最大值为：
$\tau_{\text{max}} = \frac{\ln4}{3} \approx 0.462 \, \text{s}$
此时$c_R$取得最大值：
$c_{R2} = \tau_{\text{max}} \approx 0.462 \, \text{mol·m}^{-3}$