题目
例 8-1 一点的应力状态如图 8-6(a) 所示。试求:(1)指定斜截面上的应力;(2)主应力-|||-大小和主平面方位,并画出主单元体。-|||-"n-|||-20MPa-|||-α-|||-da x-|||-ra 40MPa-|||-30
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算指定斜截面上的应力
根据题目给出的应力状态，我们有：
${\sigma }_{x}=-40MPa$，${\sigma }_{y}=0$，${\tau }_{xy}=20MPa$，$\alpha =60^{\circ }$。
使用公式计算指定斜截面上的正应力和剪应力：
${\sigma }_{\alpha }=\dfrac {1}{2}({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y})+\dfrac {1}{2}({\sigma }_{x}-{\sigma }_{y})\cos 2\alpha -{\tau }_{xy}\sin 2\alpha$
${\tau }_{\alpha }=\dfrac {1}{2}({\sigma }_{x}-{\sigma }_{y})\sin 2\alpha +{\tau }_{xy}\cos 2\alpha$
步骤 2：计算主应力大小和主平面方位
使用公式计算主应力：
${\sigma }_{1,3}=\dfrac {1}{2}({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y})\pm \sqrt {\left ( \dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2} \right )^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
使用公式计算主平面方位角：
$\tan 2{\alpha }_{0}=\dfrac {2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
步骤 3：画出主单元体
根据计算出的主应力和主平面方位角，画出主单元体。
根据题目给出的应力状态，我们有：
${\sigma }_{x}=-40MPa$，${\sigma }_{y}=0$，${\tau }_{xy}=20MPa$，$\alpha =60^{\circ }$。
使用公式计算指定斜截面上的正应力和剪应力：
${\sigma }_{\alpha }=\dfrac {1}{2}({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y})+\dfrac {1}{2}({\sigma }_{x}-{\sigma }_{y})\cos 2\alpha -{\tau }_{xy}\sin 2\alpha$
${\tau }_{\alpha }=\dfrac {1}{2}({\sigma }_{x}-{\sigma }_{y})\sin 2\alpha +{\tau }_{xy}\cos 2\alpha$
步骤 2：计算主应力大小和主平面方位
使用公式计算主应力：
${\sigma }_{1,3}=\dfrac {1}{2}({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y})\pm \sqrt {\left ( \dfrac {{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2} \right )^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$
使用公式计算主平面方位角：
$\tan 2{\alpha }_{0}=\dfrac {2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}$
步骤 3：画出主单元体
根据计算出的主应力和主平面方位角，画出主单元体。