题目

一零件的材料为合金钢，其危险截面上的最大工作应力 sigma_(max )=250 mathrm(MPa)，最小工作应力 sigma_(min )=-50 mathrm(MPa)，疲劳缺口系数 K_(a)=1.32，尺寸系数 varepsilon_(sigma)=0.85，表面状态系数 beta=0.9。该材料的力学性能为：R_(mathrm{m)}=900 mathrm(MPa)，R_(mathrm{cl)}=800 mathrm(MPa)，sigma_(-1)=440 mathrm(MPa)，sigma_(0)=720 mathrm(MPa)。要求：(1) 按比例绘制零件的简化 sigma_(mathrm{m)}-sigma_(mathrm{a)} 极限应力图；(2) 分别按 r=C、sigma_(mathrm{m)}=C 和 sigma_(min )=C 计算该零件危险截面的安全系数 S_(sigma)。

一零件的材料为合金钢，其危险截面上的最大工作应力 $\sigma_{\max }=250 \mathrm{MPa}$，最小工作应力 $\sigma_{\min }=-50 \mathrm{MPa}$，疲劳缺口系数 $K_{a}=1.32$，尺寸系数 $\varepsilon_{\sigma}=0.85$，表面状态系数 $\beta=0.9$。该材料的力学性能为：$R_{\mathrm{m}}=900 \mathrm{MPa}$，$R_{\mathrm{cl}}=800 \mathrm{MPa}$，$\sigma_{-1}=440 \mathrm{MPa}$，$\sigma_{0}=720 \mathrm{MPa}$。要求：(1) 按比例绘制零件的简化 $\sigma_{\mathrm{m}}-\sigma_{\mathrm{a}}$ 极限应力图；(2) 分别按 $r=C$、$\sigma_{\mathrm{m}}=C$ 和 $\sigma_{\min }=C$ 计算该零件危险截面的安全系数 $S_{\sigma}$。

题目解答

答案

1. 零件简化 $\sigma_m - \sigma_a$ 极限应力图绘制

首先，根据材料性能和修正系数计算零件的等效疲劳极限：

  • 对称循环[1]疲劳极限：
    $\sigma_{-1}^' = \frac{\varepsilon_\sigma \beta}{K_\sigma} \cdot \sigma_{-1} = \frac{0.85 \times 0.9}{1.32} \times 440 = 255.2\,\text{MPa}$

  • 脉动[2]循环疲劳极限：
    $\sigma_0^' = \frac{\varepsilon_\sigma \beta}{K_\sigma} \cdot \sigma_0 = 0.58 \times 720 = 417.6\,\text{MPa}$

  • 屈服强度（不修正）：$\sigma_s^' = 800\,\text{MPa}$

据此确定极限应力图三个关键点：

  • A点（纯对称循环）：$(0, 255.2)$
  • B点（脉动循环）：$(\sigma_0^'/2, \sigma_0^'/2) = (208.8, 208.8)$
  • C点（静载屈服）：$(800, 0)$

工作应力点 M 坐标由给定应力计算：

  • 平均应力：$\sigma_m = \frac{\sigma_{\max} + \sigma_{\min}}{2} = \frac{250 - 50}{2} = 100\,\text{MPa}$
  • 应力幅：$\sigma_a = \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2} = \frac{250 + 50}{2} = 150\,\text{MPa}$

→ 工作点 $M(100, 150)$ 位于 AB 段（疲劳区），可按比例在坐标系中连接 A-B-C 三点并标出 M 点。

2. 安全系数 $S_\sigma$ 计算（三种加载方式）

（1）按 $r = C$（应力比恒定）

使用公式：
$S_\sigma = \frac{\sigma_{-1}^'}{\sigma_a + \psi_\sigma \sigma_m}$
其中，$\psi_\sigma = \frac{2\sigma_{-1}^' - \sigma_0^'}{\sigma_0^'} = \frac{2 \times 255.2 - 417.6}{417.6} \approx 0.222$

代入得：
$S_\sigma = \frac{255.2}{150 + 0.222 \times 100} = \frac{255.2}{172.2} \approx 1.48$

（2）按 $\sigma_m = C$（平均应力恒定）

此时极限应力幅由 AB 线方程确定：
$\sigma_a^{\text{max}} = \sigma_{-1}^' \left(1 - \frac{\sigma_m}{\sigma_0^'/2}\right) = 255.2 \left(1 - \frac{100}{208.8}\right) \approx 133\,\text{MPa}$
安全系数：
$S_\sigma = \frac{\sigma_a^{\text{max}}}{\sigma_a} = \frac{133}{150} \approx 0.89$

（3）按 $\sigma_{\min} = C$（最小应力恒定）

由 $\sigma_{\min} = \sigma_m - \sigma_a = -50$，得 $\sigma_m = \sigma_a - 50$。代入 AB 线方程：
$\sigma_a = 255.2 \left(1 - \frac{\sigma_a - 50}{208.8}\right)$
解得 $\sigma_a^{\text{max}} \approx 142.3\,\text{MPa}$

安全系数：
$S_\sigma = \frac{142.3}{150} \approx 0.95$

最终结果汇总：

  • 极限应力图关键点：A(0, 255.2)，B(208.8, 208.8)，C(800, 0)，工作点 M(100, 150)
  • 安全系数：
    • $r = C$：$S_\sigma \approx 1.48$
    • $\sigma_m = C$：$S_\sigma \approx 0.89$
    • $\sigma_{\min} = C$：$S_\sigma \approx 0.95$

解析

本题主要考察了疲劳强度分析中极限应力图的绘制以及不同加载方式下安全系数的计算。解题思路如下：

  1. 绘制极限应力图：
    • 首先根据疲劳缺口系数 $K_{\sigma}$、尺寸系数 $\varepsilon_{\sigma}$ 和表面状态系数 $\beta$ 对材料的对称循环疲劳极限 $\sigma_{-1}$ 和脉动循环疲劳极限 $\sigma_{0}$ 进行修正，得到零件的等效疲劳极限 $\sigma_{-1}'$ 和 $\sigma_{0}'$。
    • 确定极限应力图的三个关键点 A、B、C 的坐标，其中 A 点为纯对称循环，B 点为脉动循环，C 点为静载屈服。
    • 计算工作应力点 M 的平均应力 $\sigma_{m}$ 和应力幅 $\sigma_{a}$，从而确定 M 点的坐标。
    • 最后在坐标系中连接 A、B、C 三点并标出 M 点。
  2. 计算安全系数：
    • 按 $r = C$（应力比恒定）：使用公式 $S_{\sigma} = \frac{\sigma_{-1}'}{\sigma_{a} + \psi_{\sigma} \sigma_{m}}$，其中 $\psi_{\sigma} = \frac{2\sigma_{-1}' - \sigma_{0}'}{\sigma_{0}'}$，代入相应数据计算安全系数。
    • 按 $\sigma_{m} = C$（平均应力恒定）：先根据 AB 线方程求出极限应力幅 $\sigma_{a}^{\text{max}}$，再用 $\sigma_{a}^{\text{max}}$ 与工作应力幅 $\sigma_{a}$ 的比值计算安全系数。
    • 按 $\sigma_{\min} = C$（最小应力恒定）：由 $\sigma_{\min} = \sigma_{m} - \sigma_{a}$ 得到 $\sigma_{m}$ 与 $\sigma_{a}$ 的关系，代入 AB 线方程求出极限应力幅 $\sigma_{a}^{\text{max}}$，进而计算安全系数。

具体计算过程

  1. 绘制极限应力图
    • 计算等效疲劳极限：
      • 对称循环疲劳极限：
        根据公式 $\sigma_{-1}' = \frac{\varepsilon_{\sigma} \beta}{K_{\sigma}} \cdot \sigma_{-1}$，将 $\varepsilon_{\sigma}=0.85$，$\beta = 0.9$，$K_{\sigma}=1.32$，$\sigma_{-1}=440 \mathrm{MPa}$ 代入可得：
        $\begin{align*}\sigma_{-1}'&=\frac{0.85 \times 0.9}{1.32} \times 440\\&=\frac{0.765}{1.32} \times 440\\&= 0.765\times\frac{440}{1.32}\\&= 0.765\times333.33\\&\approx 255.2\,\text{MPa}\end{align*}$
      • 脉动循环疲劳极限：
        根据公式 $\sigma_{0}' = \frac{\varepsilon_{\sigma} \beta}{K_{\sigma}} \cdot \sigma_{0}$，其中 $\frac{\varepsilon_{\sigma} \beta}{K_{\sigma}}=\frac{0.85 \times 0.9}{1.32}\approx0.58$，$\sigma_{0}=720 \mathrm{MPa}$，代入可得：
        $\sigma_{0}' = 0.58 \times 720 = 417.6\,\text{MPa}$
      • 屈服强度（不修正）：$\sigma_{s}' = 800\,\text{MPa}$
    • 确定极限应力图关键点坐标：
      • A 点（纯对称循环）：$(0, 255.2)$
      • B 点（脉动循环）：$(\frac{\sigma_{0}'}{2}, \frac{\sigma_{0}'}{2}) = (\frac{417.6}{2}, \frac{417.6}{2}) = (208.8, 208.8)$
      • C 点（静载屈服）：$(800, 0)$
    • 计算工作应力点 M 的坐标：
      已知 $\sigma_{\max} = 250 \mathrm{MPa}$，$\sigma_{\min} = -50 \mathrm{MPa}$，则平均应力：
      $\sigma_{m} = \frac{\sigma_{\max} + \sigma_{\min}}{2} = \frac{250 - 50}{2} = 100\,\text{MPa}$
      应力幅：
      $\sigma_{a} = \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2} = \frac{250 + 50}{2} = 150\,\text{MPa}$
      所以工作点 $M(100, 150)$，该点位于 AB 段（疲劳区）。
  2. 计算安全系数 $S_{\sigma}$
    • 按 $r = C$（应力比恒定）：
      先计算 $\psi_{\sigma}$：
      $\psi_{\sigma} = \frac{2\sigma_{-1}' - \sigma_{0}'}{\sigma_{0}'} = \frac{2 \times 255.2 - 417.6}{417.6} = \frac{510.4 - 417.6}{417.6} = \frac{92.8}{417.6} \approx 0.222$
      再根据公式 $S_{\sigma} = \frac{\sigma_{-1}'}{\sigma_{a} + \psi_{\sigma} \sigma_{m}}$，代入数据可得：
      $\begin{align*}S_{\sigma}&=\frac{255.2}{150 + 0.222 \times 100}\\&=\frac{255.2}{150 + 22.2}\\&=\frac{255.2}{172.2}\\&\approx 1.48\end{align*}$
    • 按 $\sigma_{m} = C$（平均应力恒定）：
      AB 线方程为 $\sigma_{a}^{\text{max}} = \sigma_{-1}' \left(1 - \frac{\sigma_{m}}{\sigma_{0}'/2}\right)$，将 $\sigma_{-1}' = 255.2\,\text{MPa}$，$\sigma_{m} = 100\,\text{MPa}$，$\frac{\sigma_{0}'}{2}=208.8\,\text{MPa}$ 代入可得：
      $\begin{align*}\sigma_{a}^{\text{max}}&= 255.2 \left(1 - \frac{100}{208.8}\right)\\&= 255.2\times(1 - 0.48)\\&= 255.2\times0.52\\&\approx 133\,\text{MPa}\end{align*}$
      安全系数：
      $S_{\sigma} = \frac{\sigma_{a}^{\text{max}}}{\sigma_{a}} = \frac{133}{150} \approx 0.89$
    • 按 $\sigma_{\min} = C$（最小应力恒定）：
      由 $\sigma_{\min} = \sigma_{m} - \sigma_{a} = -50$，得 $\sigma_{m} = \sigma_{a} - 50$。代入 AB 线方程 $\sigma_{a} = \sigma_{-1}' \left(1 - \frac{\sigma_{m}}{\sigma_{0}'/2}\right)$ 可得：
      $\sigma_{a} = 255.2 \left(1 - \frac{\sigma_{a} - 50}{208.8}\right)$
      $\sigma_{a} = 255.2 - \frac{255.2(\sigma_{a} - 50)}{208.8}$
      $208.8\sigma_{a} = 208.8\times255.2 - 255.2(\sigma_{a} - 50)$
      $208.8\sigma_{a} = 53367.36 - 255.2\sigma_{a} + 12760$
      $208.8\sigma_{a} + 255.2\sigma_{a} = 53367.36 + 12760$
      $464\sigma_{a} = 66127.36$
      $\sigma_{a} \approx 142.3\,\text{MPa}$
      安全系数：
      $S_{\sigma} = \frac{\sigma_{a}^{\text{max}}}{\sigma_{a}} = \frac{142.3}{150} \approx 0.95$