一零件的材料为合金钢，其危险截面上的最大工作应力 sigma_(max )=250 mathrm(MPa)，最小工作应力 sigma_(min )=-50 mathrm(MPa)，疲劳缺口系数 K_(a)=1.32，尺寸系数 varepsilon_(sigma)=0.85，表面状态系数 beta=0.9。该材料的力学性能为：R_(mathrm{m)}=900 mathrm(MPa)，R_(mathrm{cl)}=800 mathrm(MPa)，sigma_(-1)=440 mathrm(MPa)，sigma_(0)=720 mathrm(MPa)。要求：(1) 按比例绘制零件的简化 sigma_(mathrm{m)}-sigma_(mathrm{a)} 极限应力图；(2) 分别按 r=C、sigma_(mathrm{m)}=C 和 sigma_(min )=C 计算该零件危险截面的安全系数 S_(sigma)。
一零件的材料为合金钢，其危险截面上的最大工作应力 $\sigma_{\max }=250 \mathrm{MPa}$，最小工作应力 $\sigma_{\min }=-50 \mathrm{MPa}$，疲劳缺口系数 $K_{a}=1.32$，尺寸系数 $\varepsilon_{\sigma}=0.85$，表面状态系数 $\beta=0.9$。该材料的力学性能为：$R_{\mathrm{m}}=900 \mathrm{MPa}$，$R_{\mathrm{cl}}=800 \mathrm{MPa}$，$\sigma_{-1}=440 \mathrm{MPa}$，$\sigma_{0}=720 \mathrm{MPa}$。要求：(1) 按比例绘制零件的简化 $\sigma_{\mathrm{m}}-\sigma_{\mathrm{a}}$ 极限应力图；(2) 分别按 $r=C$、$\sigma_{\mathrm{m}}=C$ 和 $\sigma_{\min }=C$ 计算该零件危险截面的安全系数 $S_{\sigma}$。
题目解答
答案
1. 零件简化 $\sigma_m - \sigma_a$ 极限应力图绘制
首先，根据材料性能和修正系数计算零件的等效疲劳极限：
-
对称循环[1]疲劳极限：
$\sigma_{-1}^' = \frac{\varepsilon_\sigma \beta}{K_\sigma} \cdot \sigma_{-1} = \frac{0.85 \times 0.9}{1.32} \times 440 = 255.2\,\text{MPa}$ -
脉动[2]循环疲劳极限：
$\sigma_0^' = \frac{\varepsilon_\sigma \beta}{K_\sigma} \cdot \sigma_0 = 0.58 \times 720 = 417.6\,\text{MPa}$ -
屈服强度（不修正）：$\sigma_s^' = 800\,\text{MPa}$
据此确定极限应力图三个关键点：
- A点（纯对称循环）：$(0, 255.2)$
- B点（脉动循环）：$(\sigma_0^'/2, \sigma_0^'/2) = (208.8, 208.8)$
- C点（静载屈服）：$(800, 0)$
工作应力点 M 坐标由给定应力计算：
- 平均应力：$\sigma_m = \frac{\sigma_{\max} + \sigma_{\min}}{2} = \frac{250 - 50}{2} = 100\,\text{MPa}$
- 应力幅：$\sigma_a = \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2} = \frac{250 + 50}{2} = 150\,\text{MPa}$
→ 工作点 $M(100, 150)$ 位于 AB 段（疲劳区），可按比例在坐标系中连接 A-B-C 三点并标出 M 点。
2. 安全系数 $S_\sigma$ 计算（三种加载方式）
（1）按 $r = C$（应力比恒定）
使用公式：
$S_\sigma = \frac{\sigma_{-1}^'}{\sigma_a + \psi_\sigma \sigma_m}$
其中，$\psi_\sigma = \frac{2\sigma_{-1}^' - \sigma_0^'}{\sigma_0^'} = \frac{2 \times 255.2 - 417.6}{417.6} \approx 0.222$
代入得：
$S_\sigma = \frac{255.2}{150 + 0.222 \times 100} = \frac{255.2}{172.2} \approx 1.48$
（2）按 $\sigma_m = C$（平均应力恒定）
此时极限应力幅由 AB 线方程确定：
$\sigma_a^{\text{max}} = \sigma_{-1}^' \left(1 - \frac{\sigma_m}{\sigma_0^'/2}\right) = 255.2 \left(1 - \frac{100}{208.8}\right) \approx 133\,\text{MPa}$
安全系数：
$S_\sigma = \frac{\sigma_a^{\text{max}}}{\sigma_a} = \frac{133}{150} \approx 0.89$
（3）按 $\sigma_{\min} = C$（最小应力恒定）
由 $\sigma_{\min} = \sigma_m - \sigma_a = -50$，得 $\sigma_m = \sigma_a - 50$。代入 AB 线方程：
$\sigma_a = 255.2 \left(1 - \frac{\sigma_a - 50}{208.8}\right)$
解得 $\sigma_a^{\text{max}} \approx 142.3\,\text{MPa}$
安全系数：
$S_\sigma = \frac{142.3}{150} \approx 0.95$
最终结果汇总：
- 极限应力图关键点：A(0, 255.2)，B(208.8, 208.8)，C(800, 0)，工作点 M(100, 150)
- 安全系数：
- $r = C$：$S_\sigma \approx 1.48$
- $\sigma_m = C$：$S_\sigma \approx 0.89$
- $\sigma_{\min} = C$：$S_\sigma \approx 0.95$