已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求 (1)主应力大小，主平面位置； (2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； (3)最大切应力。30-|||-square 20-|||-+ 20

步骤 1：确定应力状态
给定的应力状态为：${\sigma }_{x}=20MPa$, ${\sigma }_{y}=-20MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$。

步骤 2：计算主应力
主应力可以通过求解特征方程得到。特征方程为：
${\sigma }^{3}-({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}+{\sigma }_{z}){\sigma }^{2}+({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}+{\sigma }_{y}{\sigma }_{z}+{\sigma }_{z}{\sigma }_{x}-{\tau }_{xy}^{2}-{\tau }_{yz}^{2}-{\tau }_{zx}^{2})\sigma -({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}{\sigma }_{z}+2{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}{\tau }_{zx}-{\sigma }_{x}{\tau }_{yz}^{2}-{\sigma }_{y}{\tau }_{zx}^{2}-{\sigma }_{z}{\tau }_{xy}^{2})=0$
由于${\sigma }_{z}=0$，${\tau }_{yz}={\tau }_{zx}=0$，简化后得到：
${\sigma }^{3}-({\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}){\sigma }^{2}+({\sigma }_{x}{\sigma }_{y}-{\tau }_{xy}^{2})\sigma =0$
代入${\sigma }_{x}=20MPa$, ${\sigma }_{y}=-20MPa$, ${\tau }_{xy}=20MPa$，得到：
${\sigma }^{3}-0{\sigma }^{2}+(-20\times 20-20^{2})\sigma =0$
${\sigma }^{3}-800\sigma =0$
${\sigma }(\sigma ^{2}-800)=0$
解得：${\sigma }_{1}=37MPa$, ${\sigma }_{2}=0MPa$, ${\sigma }_{3}=-37MPa$。

步骤 3：计算主平面位置
主平面位置可以通过求解${\tau }_{xy}=0$得到。主平面位置的正切值为：
$\tan 2{\alpha }_{0}=\dfrac {-2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}=\dfrac {-2\times 20}{20-(-20)}=\dfrac {-4}{4}=-1$
${\alpha }_{0}=-{45}^{\circ }$。

步骤 4：计算最大切应力
最大切应力可以通过求解${\tau }_{max}=\dfrac {{\sigma }_{1}-{\sigma }_{3}}{2}$得到。
${\tau }_{max}=\dfrac {37-(-37)}{2}=37MPa$。