题目
1晶体具有哪些宏观特征?这些宏观特征与晶体的微观结构有何联系?答:(单)晶体外形为凸多面体,常呈现出一定的对称性。属于同一品种的晶体,两个对应晶面(或晶棱)间的夹角恒定不变。晶体是各向异性的,即沿空间不同方向物理量取值不同。晶体具有固定的熔点。晶体外形上的规则性反映着内部分子(原子)间排列的有序。晶态固体的内部,至少在微米量级的范围是有序排列的,这叫做长程有序。晶体有固定的熔点也是因为在熔化过程中,晶态固体的长程序解体时对应着一定的温度。7.2图为一个二维的晶体结构,每一个黑点代表一个化学成分相同的原子。请画出原胞和布喇菲格子。
1晶体具有哪些宏观特征?这些宏观特征与晶体的微观结构有何联系?
答:(单)晶体外形为凸多面体,常呈现出一定的对称性。属于同一品种的晶体,两个对应晶面(或晶棱)间的夹角恒定不变。晶体是各向异性的,即沿空间不同方向物理量取值不同。晶体具有固定的熔点。
晶体外形上的规则性反映着内部分子(原子)间排列的有序。晶态固体的内部,至少在微米量级的范围是有序排列的,这叫做长程有序。晶体有固定的熔点也是因为在熔化过程中,晶态固体的长程序解体时对应着一定的温度。
7.2图为一个二维的晶体结构,每一个黑点代表一个化学成分相同的原子。请画出原胞和布喇菲格子。
题目解答
答案
为偶数的坐标点的集合构成面心立方。
,
,
3+2×1+2×1+1=8
,
、
、
的取值都是等间隔取值,间隔分别为
,
,
。所以,在、、构成的空波矢间中代表量子态的点子分布是均匀的。一个点子占有的“体积”是
,这里
,为晶体的体积。
(1)
,而
,
为能带顶部,
7.5试证:体心立方格子的倒格子为面心立方格子。
证:体心立方正格子基矢
,
,
,,因为
故原胞体积
倒格子基矢
类似可得
,
,与面心立方基矢
,
,
比较可知,上面倒格子是边长等于
的面心立方。
,,比较可知,上面倒格子是边长等于的面心立方。7.6将原子想象成刚球,刚球占有空间的比例q可作为原子排列是否紧密的量度。试计算简立方、体心立方、面心立方、金刚石各对应的q值。
解:(1)简立方最近邻原子距离
,一个刚球占有的体积
,晶胞体积为
,平均一个晶胞有1个原子,故
,一个刚球占有的体积,晶胞体积为,平均一个晶胞有1个原子,故(2)体心立方最近邻原子距离
,一个刚球占有的体积,晶胞体积为,平均一个晶胞有2个原子,故
,一个刚球占有的体积,晶胞体积为,平均一个晶胞有2个原子,故(3)面心立方最近邻原子距离
,一个刚球占有的体积,晶胞体积为,平均一个晶胞有4个原子,故
,一个刚球占有的体积,晶胞体积为,平均一个晶胞有4个原子,故(4)金刚石最近邻原子距离
,一个晶胞有8个原子,故
,一个晶胞有8个原子,故7.7设原胞基矢
、
、
相互正交,求倒格子基矢。什么情况下,晶面(hkl)与晶轴[hkl]正交?
、、相互正交,求倒格子基矢。什么情况下,晶面(hkl)与晶轴[hkl]正交?解:因为正交,可设
、
、
,且原胞体积
。所以
、、,且原胞体积。所以,,晶轴[hkl]沿
,而晶面(hkl)的法线方向为
。如果晶面(hkl)与晶轴[hkl]正交,则
与
平行,即有
。而
,而晶面(hkl)的法线方向为。如果晶面(hkl)与晶轴[hkl]正交,则与平行,即有。而所以晶面(hkl)与晶轴[hkl]正交的充要条件是
或由
知,
,得
知,,得7.8找出四方体(a=b≠c)和长方体(a≠b≠c)的全部对称操作。
解:(1)设两底面为正方形,侧面为长方形。则两底面中心连线为4次轴,两对侧面中心连线为2次轴。四条侧棱中,两组对棱中心连线各构成一个2次轴。考虑到不动也是对称操作,所以共有转动对称操作
3+2×1+2×1+1=8由于四方体中心为对称中心,所以转动反演对称操作也有8个,故共有16个对称操作。
(2)对于长方体,只存在3个2次轴(3对面中心连线),也存在对称中心,对称操作数为
2×(3×1+1)=8
7.9试求金刚石结构中共价键之间的夹角。
解:金刚石结构没见教材图7.1-11,碳原子B1原子周围4个碳原子是A1、A2、A3、A4,各点坐标:
,
,
,
,
。不难看出:
,
,,,,。不难看出:,故
,而
,所以两者夹角为
,而,所以两者夹角为7.10为什么说不同波矢可以对应于同一格波?
答:格波描写晶体中各原子的集体振动,由于原子的平衡位置构成周期性排列,振动量是原子的位移,所以格波描写的振动点是空间分列点,不同波矢的波动对这些分列点的振动描述可以完全相同。例如,对于一维简单格子,原子振动可写成
,色散关系为
。若
,则对应的频率
,故位移
,即各原子的振动完全相同。
,色散关系为。若,则对应的频率,故位移,即各原子的振动完全相同。7.11周期性边界条件的物理图像是什么?据此对晶格振动可以得出哪些结论?
答:可以用不同的物理图像解释周期性边界条件:(1)将一维原子链看成一闭合圆环,由于原子很多,故圆环半径很大。原子振动范围比起圆环周长来是很小的,故仍可看作直线振动。而由于圆环的闭合性,第1个粒子与第N+1个粒子实际为同一粒子,故令
。(2)另一种看法是将许许多多相同的晶体首尾“相连”,使晶格周期性在边界仍保持成立,并假设各块晶体内相对应的粒子运动情况相同。
。(2)另一种看法是将许许多多相同的晶体首尾“相连”,使晶格周期性在边界仍保持成立,并假设各块晶体内相对应的粒子运动情况相同。周期性边界条件直接导致格波的波矢只能取一些分列值,波矢取值的数目与晶体原胞数相同。
周期性边界条件得出的结论只适用体内粒子,边界处实际粒子的势场缺少周期性,故结论不适用。
7.12(1)按周期性边界条件,一维简单格子的格波波矢q应取什么值?
(2)证明一维简单格子满足
,N为原胞数,q及q’为波矢的可能取值。
,N为原胞数,q及q’为波矢的可能取值。(1)答:在周期性边界条件下,对于一维有限的简单格子,第一个原胞的原子应和第N+1个原胞的原子振动情况相同,即
而
,
。因此
,所以
,。因此,所以qNa=2πl(l为整数)
即描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的值。因为q介于
,所以l介于
,即
。由此可知,l只能取N个不同的值,因而q也只能取N个不同的值。这里N是原胞的数目。
,所以l介于,即。由此可知,l只能取N个不同的值,因而q也只能取N个不同的值。这里N是原胞的数目。(2)证:当
时,
,上式显然成立。
时,,上式显然成立。当
时,上式左边构成等比数列求和,公比
,利用等比数列求和公式
时,上式左边构成等比数列求和,公比,利用等比数列求和公式而
所以由上面两式可知,
()
()综合和两种情况,说明命题是成立的。
和两种情况,说明命题是成立的。7.13在讨论三维自由电子的能态密度时,如果晶体为长方体,边长分别为
、
、
,试推导其能态密度的表达式。
、、,试推导其能态密度的表达式。解:对于长方体,三维自由电子的波函数和能量为
,其中,
,
,
,
、
、
都是整数。
,,,、、都是整数。、、的取值都是等间隔取值,间隔分别为,,。所以,在、、构成的空波矢间中代表量子态的点子分布是均匀的。一个点子占有的“体积”是,这里,为晶体的体积。但能量只与波矢大小
有关,
,能量在0~E范围在k空间占有的“体积”
有关,,能量在0~E范围在k空间占有的“体积”所以能量在0~E范围内的量子态数为
对上式微分就得到能量在E~E+ΔE范围内的量子态数
考虑到电子自旋具有向上和向下两种状态,应乘以2,故能态密度为
7.14准自由电子近似零级近似下的波函数为
,其中
,l为整数。证明:当
时,
。
,其中,l为整数。证明:当时,。证:
,故
,故(1)而积分
比较(1)式,
,
,即
为
的整数倍,故
。所以,只要
,即(
为任意整数),则(1)式右边每项积分都为0,故
为的整数倍,故。所以,只要,即(为任意整数),则(1)式右边每项积分都为0,故7.15已知一维晶体中某个能带可写成:
,其中
,
。求:(1)能量的最大值和最小值;(2)能带底部和顶部的电子有效质量。
,其中,。求:(1)能量的最大值和最小值;(2)能带底部和顶部的电子有效质量。解:
(1) 令
得
,即
。由(2)式知,
得,即。由(2)式知,,而,所以处为极大值,
处为极大值,而
处为极小值,
处为极小值,(2)为能带底部,
为能带底部,为能带顶部,7.16用能带理论解释金属、半导体、绝缘体在导电性能方面的差异。
答:按照能带理论,满带电子不能导电(全部电子对电流的总贡献等于零)而不满带电子可以导电。金属中,除去满带外,还有部分地被填充的能带,后者可以起导电作用。在半导体或绝缘体中,只有满带与空带,但是半导体的禁带宽度较小,一般在2个电子伏特以下,而绝缘体的禁带宽度较大。在极低温度下,两者导电性能都很差。当温度逐渐升高以后,总会有少数电子,由于热激发,从满带跳到邻近的空带中去;使原来的空带也有了少数电子,成为导带;而原来的满带,现在缺了少数电子,成为近满带,也具有导电性。在半导体中,由于禁带窄,电子容易从满带激发到导带中去;而在绝缘体中,禁带太宽,激发的电子数目极少,以至没有可察觉的导电性。
习题8