在立方晶系中写出 111 晶面族的所有晶面的密勒指数，并写出 <110> 晶向族中的全部等价晶向密勒指数。

本题主要考查立方晶系中晶面族和晶向族的相关知识。解题的关键在于理解晶面族和晶向族的概念，以及如何根据给定的晶面指数和晶向指数通过特定规则找出所有等价的晶面和晶向。

1. 求 $\{111\}$ 晶面族的所有晶面的密勒指数

晶面族 $\{hkl\}$ 表示一组晶面，这些晶面的晶面指数 $h$、$k$、$l$ 具有相同的绝对值，但符号可以不同。对于 $\{111\}$ 晶面族，$h$、$k$、$l$ 只能取 $\pm1$。
我们可以通过列举所有可能的符号组合来得到所有晶面的密勒指数：

• 当 $h = 1$，$k = 1$，$l = 1$ 时，晶面指数为 $(111)$。
• 当 $h = 1$，$k = 1$，$l = -1$ 时，晶面指数为 $(11 - 1)$。
• 当 $h = 1$，$k = -1$，$l = 1$ 时，晶面指数为 $(1 - 11)$。
• 当 $h = 1$，$k = -1$，$l = -1$ 时，晶面指数为 $(1 - 1 - 1)$。
• 当 $h = -1$，$k = 1$，$l = 1$ 时，晶面指数为 $(-111)$。
• 当 $h = -1$，$k = 1$，$l = -1$ 时，晶面指数为 $(-11 - 1)$。
• 当 $h = -1$，$k = -1$，$l = 1$ 时，晶面指数为 $(-1 - 11)$。
• 当 $h = -1$，$k = -1$，$l = -1$ 时，晶面指数为 $(-1 - 1 - 1)$。

2. 求 $<110>$ 晶向族中的全部等价晶向密勒指数

晶向族 $$ 表示一组晶向，这些晶向的晶向指数 $u$、$v$、$w$ 具有相同的绝对值，但符号可以不同，并且可以进行坐标的轮换。对于 $<110>$ 晶向族，$u$、$v$、$w$ 只能取 $\pm1$ 和 $0$，且其中一个为 $0$，另外两个为 $\pm1$。
我们可以通过列举所有可能的符号组合和坐标轮换来得到所有等价晶向的密勒指数：

• 当 $u = 1$，$v = 1$，$w = 0$ 时，晶向指数为 $[110]$。
• 当 $u = 1$，$v = -1$，$w = 0$ 时，晶向指数为 $[1 - 10]$。
• 当 $u = -1$，$v = 1$，$w = 0$ 时，晶向指数为 $[-110]$。
• 当 $u = -1$，$v = -1$，$w = 0$ 时，晶向指数为 $[-1 - 10]$。
• 对 $[110]$ 进行坐标轮换，将 $x$ 轴和 $y$ 轴的坐标与 $z$ 轴的坐标交换，得到 $[101]$。
• 对 $[1 - 10]$ 进行坐标轮换，得到 $[10 - 1]$。
• 对 $[-110]$ 进行坐标轮换，得到 $[-101]$。
• 对 $[-1 - 10]$ 进行坐标轮换，得到 $[-10 - 1]$。
• 再对 $[101]$ 进行坐标轮换，得到 $[011]$。
• 对 $[10 - 1]$ 进行坐标轮换，得到 $[01 - 1]$。
• 对 $[-101]$ 进行坐标轮换，得到 $[0 - 11]$。
• 对 $[-10 - 1]$ 进行坐标轮换，得到 $[0 - 1 - 1]$。