题目

已知alpha-Fe的晶格常数a=0.287,nm，试求出alpha-Fe的原子半径和致密度。

已知$\alpha$-Fe的晶格常数$a=0.287\,nm$，试求出$\alpha$-Fe的原子半径和致密度。

题目解答

答案

根据BCC结构，原子半径 $ r = \frac{\sqrt{3}a}{4} = \frac{\sqrt{3} \times 0.287}{4} \approx 0.124 \, \text{nm} $。 致密度计算如下： \[ \eta = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3} = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi (0.124)^3}{(0.287)^3} \approx \frac{0.0161}{0.02368} \approx 0.68 \] 最终结果： - 原子半径 $ r \approx 0.124 \, \text{nm} $。 - 致密度 $ \eta \approx 68\% $。

解析

本题主要考查体心立方（BCC）结构的$\alpha$-Fe的原子半径和致密度的计算。解题思路如下：

  1. 计算原子半径：
    • 对于体心立方（BCC）结构，原子沿体对角线紧密排列。体对角线的长度为$\sqrt{3}a$，且体对角线上分布着$4$个原子半径。
    • 设原子半径为$r$，根据上述关系可得$4r = \sqrt{3}a$，则原子半径的计算公式为$r=\frac{\sqrt{3}a}{4}$。
    • 已知晶格常数$a = 0.287 \, \text{nm}$，将其代入公式计算原子半径：
      $\begin{align*}r&=\frac{\sqrt{3}a}{4}\\&=\frac{\sqrt{3} \times 0.287}{4}\\&\approx\frac{1.732\times0.287}{4}\\&\approx\frac{0.507}{4}\\&\approx 0.124 \, \text{nm}\end{align*}$
  2. 计算致密度：
    • 致密度$\eta$的计算公式为$\eta=\frac{V_{原子}}{V_{晶胞}}$，其中$V_{原子}$是晶胞中原子的总体积，$V_{晶胞}$是晶胞的体积。
    • 对于体心立方结构，一个晶胞中含有$2$个原子，每个原子的体积为$\frac{4}{3}\pi r^3$，所以晶胞中原子的总体积$V_{原子}=2\times\frac{4}{3}\pi r^3$。
    • 晶胞的体积$V_{晶胞}=a^3$。
    • 将$r\approx 0.124 \, \text{nm}$和$a = 0.287 \, \text{nm}$代入致密度公式计算：
      $\begin{align*}\eta&=\frac{2\times\frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}\\&=\frac{2\times\frac{4}{3}\pi\times(0.124)^3}{(0.287)^3}\\&=\frac{2\times\frac{4}{3}\times3.1416\times0.001907}{0.02368}\\&=\frac{2\times4.1888\times0.001907}{0.02368}\\&=\frac{0.0161}{0.02368}\\&\approx 0.68\end{align*}$
      将致密度转化为百分数形式，$\eta\approx 68\%$。