某厂购进一批45钢，按国家标准规定，力学性能应符合如下要求：R_(e) geq 355 mathrm(MPa)，R_(m) geq 600 mathrm(MPa)，A geq 16%，Z geq 40%。入厂检验时采用试样原始直径为 10 mathrm(~mm)、原始长度为 50 mathrm(~mm) 的短试样进行拉伸试验，测得屈服力为 28260 mathrm(~N)，最大力为 47530 mathrm(~N)，断后长度为 60.5 mathrm(~mm)，断口处直径为 7.5 mathrm(~mm)，试列式计算并回答这批钢材的力学性能是否符合国家标准。

本题主要考察材料力学性能指标的计算以及与国家标准的对比判断。解题思路是先根据已知条件，利用相应的公式分别计算出屈服强度、抗拉强度、伸长率和断面收缩率，再将计算结果与国家标准规定的数值进行比较，从而判断这批钢材的力学性能是否符合要求。

1. 计算屈服强度 $R_{e}$

屈服强度的计算公式为 $R_{e}=\frac{F_{e}}{S_{0}}$，其中 $F_{e}$ 是屈服力，$S_{0}$ 是试样原始横截面积。
已知试样原始直径 $d_{0} = 10\mathrm{mm}$，根据圆的面积公式 $S=\pi(\frac{d}{2})^2$，可得原始横截面积 $S_{0}=\pi(\frac{10}{2})^2 = 25\pi\approx 78.54\mathrm{mm}^2$，屈服力 $F_{e}=28260\mathrm{N}$。
将数值代入屈服强度公式可得：
$R_{e}=\frac{F_{e}}{S_{0}}=\frac{28260}{78.54}\approx 360\mathrm{MPa}$
因为 $360\mathrm{MPa}\geq 355\mathrm{MPa}$，所以屈服强度符合国家标准。

2. 计算抗拉强度 $R_{m}$

抗拉强度的计算公式为 $R_{m}=\frac{F_{m}}{S_{0}}$，其中 $F_{m}$ 是最大力，$S_{0}$ 是试样原始横截面积。
已知最大力 $F_{m}=47530\mathrm{N}$，原始横截面积 $S_{0}\approx 78.54\mathrm{mm}^2$。
将数值代入抗拉强度公式可得：
$R_{m}=\frac{F_{m}}{S_{0}}=\frac{47530}{78.54}\approx 605\mathrm{MPa}$
因为 $605\mathrm{MPa}\geq 600\mathrm{MPa}$，所以抗拉强度符合国家标准。

3. 计算伸长率 $A$

伸长率的计算公式为 $A=\frac{l_{1}-l_{0}}{l_{0}}\times 100\%$，其中 $l_{0}$ 是试样原始长度，$l_{1}$ 是断后长度。
已知试样原始长度 $l_{0}=50\mathrm{mm}$，断后长度 $l_{1}=60.5\mathrm{mm}$。
将数值代入伸长率公式可得：
$A=\frac{l_{1}-l_{0}}{l_{0}}\times 100\%=\frac{60.5 - 50}{50}\times 100\% = 21\%$
因为 $21\%\geq 16\%$，所以伸长率符合国家标准。

4. 计算断面收缩率 $Z$

断面收缩率的计算公式为 $Z=\frac{S_{0}-S_{1}}{S_{0}}\times 100\%$，其中 $S_{0}$ 是试样原始横截面积，$S_{1}$ 是断口处横截面积。
已知断口处直径 $d_{1}=7.5\mathrm{mm}$，则断口处横截面积 $S_{1}=\pi(\frac{7.5}{2})^2=\frac{56.25\pi}{4}\approx 44.18\mathrm{mm}^2$，原始横截面积 $S_{0}\approx 78.54\mathrm{mm}^2$。
将数值代入断面收缩率公式可得：
$Z=\frac{S_{0}-S_{1}}{S_{0}}\times 100\%=\frac{78.54 - 44.18}{78.54}\times 100\%\approx 43.75\%$
因为 $43.75\%\geq 40\%$，所以断面收缩率符合国家标准。