题目
8.15 如在液相中形成边长为a的立方体晶核时,求出"临界核胚"立方体边长a×和 Delta G米 为什么立方体的-|||-Delta G米 大于球形 △G×?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定晶核的自由能变化
晶核的自由能变化 $\Delta G$ 可以分为两部分：体积自由能变化 $\Delta G_r$ 和表面自由能变化 $\Delta G_s$。对于边长为 $a$ 的立方体晶核，体积自由能变化为 $a^3 \Delta G_r$，表面自由能变化为 $6a^2 \gamma_{rs}$，其中 $\gamma_{rs}$ 是液相和固相之间的界面能。
步骤 2：求解临界核胚的边长
临界核胚的边长 $a^*$ 可以通过求解 $\Delta G$ 对 $a$ 的导数等于零来得到。即 $\dfrac{\partial \Delta G}{\partial a} = 0$。将 $\Delta G = a^3 \Delta G_r + 6a^2 \gamma_{rs}$ 代入，得到 $3a^2 \Delta G_r + 12a \gamma_{rs} = 0$。解得 $a^* = -\dfrac{4 \gamma_{rs}}{\Delta G_r}$。
步骤 3：计算临界核胚的自由能变化
将 $a^*$ 代入 $\Delta G$ 的表达式中，得到临界核胚的自由能变化 $\Delta G^* = \dfrac{32 \gamma_{rs}^3}{3 \Delta G_r^2}$。
步骤 4：比较立方体和球形的自由能变化
当形成体积相同的核时，立方体的表面积大于球形的表面积，因此立方体的表面自由能变化大于球形的表面自由能变化。因此，立方体的 $\Delta G^*$ 大于球形的 $\Delta G^*$。
晶核的自由能变化 $\Delta G$ 可以分为两部分：体积自由能变化 $\Delta G_r$ 和表面自由能变化 $\Delta G_s$。对于边长为 $a$ 的立方体晶核，体积自由能变化为 $a^3 \Delta G_r$，表面自由能变化为 $6a^2 \gamma_{rs}$，其中 $\gamma_{rs}$ 是液相和固相之间的界面能。
步骤 2：求解临界核胚的边长
临界核胚的边长 $a^*$ 可以通过求解 $\Delta G$ 对 $a$ 的导数等于零来得到。即 $\dfrac{\partial \Delta G}{\partial a} = 0$。将 $\Delta G = a^3 \Delta G_r + 6a^2 \gamma_{rs}$ 代入，得到 $3a^2 \Delta G_r + 12a \gamma_{rs} = 0$。解得 $a^* = -\dfrac{4 \gamma_{rs}}{\Delta G_r}$。
步骤 3：计算临界核胚的自由能变化
将 $a^*$ 代入 $\Delta G$ 的表达式中，得到临界核胚的自由能变化 $\Delta G^* = \dfrac{32 \gamma_{rs}^3}{3 \Delta G_r^2}$。
步骤 4：比较立方体和球形的自由能变化
当形成体积相同的核时，立方体的表面积大于球形的表面积，因此立方体的表面自由能变化大于球形的表面自由能变化。因此，立方体的 $\Delta G^*$ 大于球形的 $\Delta G^*$。