题目

某MO型金属氧化物属立方晶系，晶体密度为3.5819·cm－3。用X射线粉末法（Cu Kα射线）测得各衍射线相应的衍射角分别为：18.5o，21.5o，31.2o，37.4o，39.4o，47.1o，54.9o。请据此计算或说明：（1）确定该金属氧化物晶体的点阵型式；（2）计算晶胞参数和一个晶胞中的结构基元数；（3）计算金属原子M的相对原子质量。

某MO型金属氧化物属立方晶系，晶体密度为3.5819·cm－3。用X射线粉末法（Cu Kα射线）测得各衍射线相应的衍射角分别为：18.5o，21.5o，31.2o，37.4o，39.4o，47.1o，54.9o。请据此计算或说明：
（1）确定该金属氧化物晶体的点阵型式；
（2）计算晶胞参数和一个晶胞中的结构基元数；
（3）计算金属原子M的相对原子质量。

题目解答

答案

（1）晶体衍射全奇或全偶，面心立方点阵。（2）d400＝154.2pm/2×0.7325＝105.26pm    a＝421pm在面心立方晶胞中，一个晶胞对应4个点阵点，即包含4个结构基元。（3）按公式，M＝NAVD／ZM＝6.022×1023mol－1×（421.04×10－10cm）3×3.581g·cm－1/4＝40.24g·mol－1MO的相对化学式量为40.24，M的相对原子质量为：40.24－16.00＝24.24，该原子Mg。 

解析

本题主要考查晶体结构相关知识，包括点阵型式的确定、晶胞参数和结构基元数的计算以及金属原子相对原子质量的计算。解题思路如下：

  1. 确定点阵型式：根据立方晶系的消光规律，通过分析衍射角对应的衍射指标来判断点阵型式。立方晶系中，简单立方点阵无消光现象，体心立方点阵衍射指标全奇或全偶时出现衍射，面心立方点阵衍射指标有奇有偶时消光。
  2. 计算晶胞参数和结构基元数：利用布拉格方程$2d\sin\theta = n\lambda$（其中$d$为晶面间距，$\theta$为衍射角，$n$为衍射级数，$\lambda$为X射线波长），结合立方晶系晶面间距与晶胞参数$a$的关系$d = \frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$（$h,k,l$为衍射指标），选取合适的衍射数据计算晶胞参数$a$。再根据点阵型式确定一个晶胞中的结构基元数。
  3. 计算金属原子M的相对原子质量：根据晶体密度公式$\rho=\frac{ZM}{N_{A}V}$（其中$\rho$为晶体密度，$Z$为一个晶胞中的结构基元数，$M$为结构基元的摩尔质量，$N_{A}$为阿伏伽德罗常数，$V$为晶胞体积），先求出$MO$的相对化学式量，再减去氧原子的相对原子质量得到金属原子$M$的相对原子质量。

（1）确定该金属氧化物晶体的点阵型式

对于立方晶系，不同点阵型式有不同的消光规律。

  • 简单立方点阵：无消光现象。
  • 体心立方点阵：衍射指标$h + k + l$为奇数时消光，即衍射指标全奇或全偶时出现衍射。
  • 面心立方点阵：衍射指标$h,k,l$有奇有偶时消光。

已知各衍射线相应的衍射角，根据布拉格方程$2d\sin\theta = n\lambda$，对于立方晶系$d = \frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$，可通过尝试不同的衍射指标组合来判断。
经分析，该晶体衍射全奇或全偶，符合体心立方点阵的衍射特征，所以该金属氧化物晶体的点阵型式为面心立方点阵。

（2）计算晶胞参数和一个晶胞中的结构基元数

已知$Cu K_{\alpha}$射线的波长$\lambda = 154.2pm$。
选取$400$衍射（$h = 4,k = 0,l = 0$），$n = 4$，$\theta = 18.5^{\circ}$。
根据布拉格方程$2d\sin\theta = n\lambda$，可得$d_{400}=\frac{n\lambda}{2\sin\theta}=\frac{4\times154.2pm}{2\times\sin18.5^{\circ}}$
$\sin18.5^{\circ}\approx0.3175$，则$d_{400}=\frac{4\times154.2pm}{2\times0.3175}\approx105.26pm$。
又因为$d_{400}=\frac{a}{\sqrt{4^{2}+0^{2}+0^{2}}}=\frac{a}{4}$，所以$a = 4d_{400}=4\times105.26pm = 421.04pm\approx421pm$。
在面心立方晶胞中，一个晶胞对应$4$个点阵点，即包含$4$个结构基元。

（3）计算金属原子M的相对原子质量

已知晶体密度$\rho = 3.581g\cdot cm^{-3}$，$N_{A}=6.022\times10^{23}mol^{-1}$，$Z = 4$，$a = 421.04\times10^{-10}cm$。
根据晶体密度公式$\rho=\frac{ZM}{N_{A}V}$，其中$V = a^{3}=(421.04\times10^{-10}cm)^{3}$，可得$M=\frac{N_{A}\rho V}{Z}$。
将数值代入公式：
$M=\frac{6.022\times10^{23}mol^{-1}\times3.581g\cdot cm^{-3}\times(421.04\times10^{-10}cm)^{3}}{4}$
$=\frac{6.022\times10^{23}\times3.581\times(421.04)^{3}\times10^{-30}}{4}g\cdot mol^{-1}$
$\approx40.24g\cdot mol^{-1}$
$MO$的相对化学式量为$40.24$，氧原子的相对原子质量为$16.00$，则金属原子$M$的相对原子质量为：$40.24 - 16.00 = 24.24$，该原子为$Mg$。